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微分同相写像 f の双曲型周期点 p の安定多様体・不安定多様体の交わりの閉包を p のホモクリニッククラスといい H_f(p) で表す。一般に H_f(p) は p の鎖成分 C_f(p) の真部分集合で，最小な意味ある研究対象である。本研究の目的は，H_f(p) を，自然な擬軌道尾行性-C~1-開条件のもとで微分幾何学的力学系理論の視点から特徴付けを行うことである。具体的には，C~1-安定的擬軌道尾行性の仮定のもと，次の手順で研究を進めた：① H_f(p) 上の接ベクトルバンドルにおける占有的分割が存在すること及び H_f(p) の任意の双曲型周期点の安定な固有空間の次元は一定であることを証明，② H_f(p) の双曲型周期点についてのある種の一様双曲性を証明，そして最後に③ H_f(p) の双曲性の証明である。
① のステップは平成22年度以前に完了。平成24年度は，平成23年度に引き続き ②，③ の証明に取り組んだ。研究代表者自身による，鎖成分 Cf(p) についての C~1-安定的擬軌道尾行性のもとでの研究成果や証明技法を基に，分岐理論における研究成果，特にサドル・ノード分岐と擬軌道尾行性についての研究成果の応用を試みたが，現時点では未だその完全な解決には至っていない。
本研究の推進過程において，北京大学のチームが開発した証明技法（Liao理論）を応用し，任意の鎖成分（周期点を含むとは限らない）に対し，局所極大という付加条件の下でその双曲性を証明している（数学専門雑誌に掲載が決定）。周期点の存在を仮定していない点が，C_f(p) や H_f(p) の場合と本質的に異なり，擬軌道尾行性理論の新たな展開を示唆する成果である。以上の点を総合し，本研究は当初目的の50％程度を達成できたと言える。
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