| 研究課題/領域番号 |
22540232
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| 研究機関 | 大阪市立大学 |
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研究代表者 |
加藤 信 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10243354)
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| 研究分担者 |
高橋 太 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10374901)
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| 研究期間 (年度) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 多様体上の解析 / 極小曲面 |
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| 研究概要 |
三次元 Euclid 空間の埋め込まれた end のみを持つ有限全曲率完備極小曲面、いわゆる n-noid について、種数が 1 の場合に、これまでほとんど例の知られていなかった、 Gauss 写像の極と end の完全代表系の総和が一致するクラスにおいて、さらに新しい例を具体的に構成した。研究のこの部分は、室谷文祥氏との共同研究によるものである。
一方、種数が 0 の場合について、end の個数が 4 である場合において、その安定性を計る指標である index と nullity につき、新たな結果を得た。より具体的に述べれば、 generic な場合については、Ejiri-Kotani, Nayatani, Montiel-Ros による先行結果により、既に精確な値が知られていたが、本研究においては、 generic で無い場合についても、 Gauss 写像となる各有理関数に対して、 index と nullity の値を決定した。また具体的にどのような曲面がそれに対応するのかについても、非自明な例を新たに与えた。これら非自明な例の特徴は、本研究において特に重要な役割を果たす flux の配置の特殊性にあり、そのことが、一般的に index と nullity とどのような関連性を持つかは、未だ定かではないが、今後の研究の一つの方向性を示すものとして、重要と考えられる。研究のこの部分は、立道康介氏との共同研究によるものである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
種数が 1 の場合については、定式化を完了したことと、それを用いて新しい例を多く構成し、崩壊する連続変形族を観察、各クラスにおいてどのような極限曲面が現れ得るか、多くの具体的な情報を得た。
また、種数が 0 の場合について、index と nullity につき新たな情報を得ることにより、解空間の generic でない点およびその近傍における構造が、これまでより具体的に見えるようになったと言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
実績欄にも記した、種数 0 で end の個数が 4 である場合において、その安定性を計る指標である index と nullity につき得られた結果を、end の個数が 4 より大きい場合に一般化し、また、より多くの非自明な例を構成し、それらの特徴付けを行う。また、それとも関連付けながら、種数 0 の場合の解空間の分析をさらに推し進める。
種数 1 の場合についても、より対称性の低い例を構成することにより、引き続き崩壊現象の分析を進める。
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