| 研究概要 |
平成22年度, 23年度に引き続いて, 函数方程式を複素平面上で取り扱いました。差分Riccati方程式と線形2階同次差分方程式との関係についての研究を更に進めました。この関係は複素微分方程式におけるRiccati方程式と線形2階同次微分方程式との関係に対応するもので, 複素平面上での有理型函数解の存在定理, 解の増大度などを調べるために重要なものです。今年度は, 特に2階同次差分方程式の解を構成し, 上述の関係を用いて差分Riccati方程式の超越的有理型函数解の構成をしましたので以下に報告します。
差分方程式の場合は, ある有理型函数解が見つかると, 微分方程式の積分定数の対応する周期函数を利用して, 増大の位数が任意に大きな有理型函数解を構成することが可能です。そこで研究の対象は, 増大の位数が小さな超越的有理型函数解の存在に絞られます。Γ－函数の応用から差分Riccati方程式において, 増大の位数が1の超越的有理型函数解の存在は知られていましたが, 増大の位数が1未満の超越的有理型函数解の存在については取り扱われていませんでした。冒頭に述べた性質と線形同次差分方程式の整函数解と係数の次数の関係から, 差分Riccati方程式において増大の位数が1未満の超越的有理型函数解が存在するとすれば増大の位数は1/2 であることが予測されます。今年度の研究において, 線形2階同次差分方程式に柳原の方法を適用することで, 整函数解を構成し, 差分Riccati方程式において増大の位数が1/2 の超越的有理型函数解が存在することは可能であることを示しました。
平成24年度は最終年度でもあり, これらの成果を, 函数論シンポジュウムや国際集会において報告いたしました。
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