| 研究概要 |
量子群の1の冪根における最高ウェイト表現とその結び目や3次元多様体の不変量への応用について研究を遊めた.量子群の1の冪根における最高ウェイト表現に対し,そのテンソル籍の分解の様子をあらわすクレブシューゴルダン係数と呼ばれるものを求め,これを用いて,最高ウェイト表現に関する量子6j記号と呼ばれるものを求めることができた.この量子6j記号を用いて,結び目のカラードアレキサンダー多項式を,面模型と呼ばれる方法で記述することができ,さらには,空間グラフの不変量に一般化することができた.
一方,量子不変量に関する体積予想から.量子6j記号と四面体の体積との関係が期待されている.さらに,一般の多面体についても,その不変量と多面体の体積との関係が期待されている.このことを念頭に置いて,一般化された双曲四面体の体積についての体積公式をアレキサンダー・コルパコフとの共同研究で得ることができた.
また,ハンドル体結び目に関する量子不変量についても研究を進め,空間グラフの埋め込みに関する横田不変量を用いて,ハンドル体結び目に関する量子不変量を構成することができた,この量子不変量は,量子群の通常の既約表現を用いて構成されているが,1の冪根における最高ウェイト表現に関しても同様の構成が可能であると考えている.また,結び目の体積予想に対応するハンドル体結び目の体積予想があると考えているが,具体的には今後明らかにしていきたい.
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| 今後の研究の推進方策 |
さらにこの研究を進めることで,一般化された四面体の体積公式を多面体の体積公式に拡張し,また,ハンドル体結び目の量子不変量についてもさらに考察を加えることで,結び目の量子不変量の体積予想の証明に少しでも近づくよう研究を進める.
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