| 研究概要 |
平均曲率一定超曲面(以下ではCMC曲面と略記する)は、与えられた境界条件を満たし(あるいは、サポートがコンパクトで)「囲む体積」を変えない任意の変分に対する面積の臨界点である。また、CMC曲面は、このような任意の変分に対して面積の第二変分が非負の時に「安定である」といい、そうでない時に「不安定である」という。
ユークリッド空間において、与えられた境界条件を満たすコンパクトなCMC曲面全体を考える。これらは、平均曲率または,囲む体積をパラメータとする変分問題の1助変数族の解と見なせる。本研究では、これらのパラメータに対する解の分岐についての研究を行い、以下の成果を得た。
まず、解の分岐が起こるための十分条件を得た。これは、面積の第二変分に付随する二階楕円型線形作用素に対する固有値問題の固有値の性質、及び、零固有値に属する固有関数の性質により判定される。
また、CMC曲面Mにおいて解の分岐が起こるとき、分岐後の解の安定性の判定について研究した。安定性が問題となるのは、Mに対する上述の固有値問題の第二固有値が零の時である。零固有値の重複度が1である場合について、分岐後の解の安定性の判定条件を得た。また、もとの解の族が対称性を持つ場合に、分岐後の解の対称性が崩壊する可能性についても結果を得た。
上記の結果を(一般化して)応用し、次の例についての分岐を調べた。
(1)平行な二平面上に自由境界をもつ曲面の非等方的表面エネルギーの臨界点。
(2)互いに平行で半径が等しく、同じ回転軸を持つ2つの円を境界に持つCMC曲面。
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