| 研究概要 |
非線形発展方程式においては解の特異性の解析が一つの重要な研究課題となっているが,これまでは特異性の発現の過程についての研究が中心であった.最近,藤田型の放物型偏微分方程式に対し,時間とともに移動する特異点を保持する解の存在が示され,新たな研究対象として動的な特異点を保持する解が認知されるようになった.本研究では,各種の非線形放物型偏微分方程式における移動特異点を持つ解について定性的な研究を行った.今年度の主な研究成果は以下の通りである.
まず,藤田型方程式と呼ばれるべき乗の形の非線形項を持つ放物型偏微分方程式に対し,解が大域的に存在しないための条件について研究を行った,解が大域的でないとき,最大存在時刻においては二つの可能性が考えられる.一つは特異点以外のところで解が発散する場合である.もう一つは,特異点の性質が変化し,局所存在のための条件が崩れる場合である.本研究においては後者のような特異点の変性が実際に起きることを後方自己相似解を構成することによって証明した.さらに,この自己相似解を摂動することにより,特異点の動きを前もって与えたとしても,任意の時刻で特異点の変性が起きる例を構成した.
次に,特異点が移動しない場合について解の挙動を詳細に調べ,このような解が特異定常解に収束するための条件を明らかにした.この研究の副産物として,移動特異点の強さが時間とともに多少変化しても,解が存在しつづけることを明らかにした.これは一意性の問題について未解決の部分を解決したものである.
|
