| 研究概要 |
非線形発展方程式においては解の特異性の解析が一つの重要な研究課題となっているが,これまでは特異性の発現の過程についての研究が中心であった.ところが最近,藤田型の放物型偏微分方程式に対し,時間とともに変化する特異点を保持する解の存在が示され,新たな研究対象として動的な特異点を保持する解が認知されるようになった.本研究では,各種の非線形放物型偏微分方程式における移動特異点を持つ解について定性的な研究を行った.今年度の主な研究成果は以下の通りである.
まず,藤田型方程式と呼ばれるべき乗の形の非線形項を持つ放物型偏微分方程式に対し,解が大域的に存在するための条件について研究を行った.解が大域的であるため一つの十分条件は,初期値が特異定常解の下側にあることであるが,この場合には特異点における解の漸近展開の第2項の係数を任意に指定できることを明らかにした.このときさらに,この係数を定数とするとその値に対応した特異定常解に収束することを証明した.
次に,初期値の空間的減衰レートと特異定常解への収束レートの関係について調べた.その結果,特異ある範囲では初期値の減衰レートと収束レートの関係は線形の関係にあるが,ある臨界値で飽和することが示された.さらに,特異定常解には2種類のタイプがあり,これらが飽和する臨界値の違いで特徴付けられることが明らかになった.これは,通常の滑らかな定常解には見られない構造であり,特異定常解の挙動が数学的にも豊富な構造を持つことを示唆しているものと考えられる.
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