| 研究概要 |
今年度は三本の論文を出版することができた．一つ目の論文においては，局所体上の（非特異だが）完備とは限らない多様体に対して，高次元類体論や Brauer-Manin 双対の理論を展開した．これは Spencer Bloch 氏, 斎藤秀司氏，Uwe Jannsen 氏らが（非特異かつ）完備な多様体に対して展開してきた理論の拡張である．
二つ目は宮坂宥憲氏との共著論文である．ここでは Greg Anderson により展開された p-進佐藤理論について研究を行い，ある種の代数曲線のヤコビ多様体上のテータ因子上にあるねじれ点の構造について数論幾何的な結果（一種の「明示的」Manin-Mumford 予想）を証明した．この問題についてはその後にも小林真一氏と共同で研究を進め，Anderson の理論を大きく進展させることができた．
三つ目は Bruno Kahn 氏との共著論文である．これは，半アーベル多様体を係数に持つ Milnor K 群（染川 K 群）を Voevodsky が構成したモチーフの三角圏における拡大群として記述したものである．この結果は代数的サイクルのなす群（高次 Chow 群やモチビック・ホモロジー群など）を染川 K 群で記述するというタイプの応用をもつ．また，この結果は体のモチビック・コホモロジーと古典的な Milnor K 群の間の同型（Suslin-Voevodsky の定理）に別証明を与える．また，この結果を解説した日本語のサーベイ論文も出版できた．なお，この結果はホモトピー不変性によらないモチーフ理論を展開する可能性を示唆するものであり，その方向での研究を Bruno Kahn 氏および斎藤秀司氏と進めている．そこでは，ホモトピー不変性を Weil 相互律に置き換えるという方法で，Voevodsky の「移送付き前層」の理論を拡張している．
|
