| 研究実績の概要 |
これまでの研究で三鍋氏と共同でDubrovinによるフロベニウス多様体の一般化した混合フロベニウス構造を定義した。これは多様体の接ベクトル束上の平坦接続、可換かつ結合的な積、部分束によるフィルトレーション、その逐次商上の非退化双線型形式、オイラーベクトル場とよばれるベクトル場の組で、種々の整合性条件を満たすものである。このうち平坦接続、積、オイラーベクトル場は、計量なしの齋藤構造をなしている。またフィルトレーションが自明な場合はフロベニウス多様体にほかならない。整合性条件の一つに、フィルトレーションと非退化双線型形式は接空間上の混合フロベニウス代数の構造となる、という条件がある。すなわち、フィルトレーションはイデアルによるフィルトレーションであり、かつ、双線型形式が積で不変という条件を満たさなければならない。
平成２６年度は、平成２５年度に引き続き１変数多項式環上のフロベニウス構造の極限としての混合フロベニウス構造を構成を考察した。まず１変数多項式環上の可換結合代数とローラン多項式環に値をとるユニモジュラー双線型形式の組「１変数多項式環上のフロベニウス代数」において、変数を零にする極限で混合フロベニウス構造が得られることを単因子論を用いて示した。次に多様体版の証明を与えた。
そのほかに混合フロベニウス代数に対する基本的事項を証明した：任意の可換結合代数はフロベニウス代数になるとは限らないことが知られている。それに対して、標数零の体上の可換結合代数は、根基のベキによるフィルトレーションによる混合フロベニウス代数の構造を持つことを示した。これらの結果はプレプリント
Yukiko Konishi, Satoshi Minabe, Local quantum cohomology and mixed Frobenius structure, arXiv:1405.7476 にまとめた。
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