Mahler 関数の特殊値による超越数の構造解明

2012 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 22740023
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 慶應義塾大学
• 研究代表者: 田中 孝明 慶應義塾大学, 理工学部, 専任講師 (60306850)
• 研究期間 (年度): 2010 – 2012
• キーワード: Mahler 関数 / 代数的独立性 / 整関数 / 無限積 / フィボナッチ数列 / 超越数

研究概要

本研究では次のような性質をもつ、複素数全体で定義される関数を構成した。相異なる代数的な数における値が0でなければ、それらの値の間には有理数係数のいかなる非零多項式で表される関係式も存在しない。さらに、それらの値に加えて、上記のような代数的な数において何回でも微分した値を併せて考えても、やはり有理数係数のいかなる非零多項式で表される関係式も存在しない。しかも、値が0になる数のなす列は線形回帰関係式を満たす数列の部分列として明示できる。

研究成果

• [雑誌論文] Algebraic relations with the infinite products generated by Fibonacci numbers (2013)
  • 著者名/発表者名: T. Kurosawa, Y. Tachiya, and T. Tanaka
  • 雑誌名: Ann. Math. Inform 巻: 41(掲載決定)
  • 査読あり
• [雑誌論文] Algebraic independence properties related to certain infinite products, AIP Conference Proceedings 1385,Diophantine Analysis and Related Fields 2011 (2012)
  • 著者名/発表者名: T. Tanaka
  • 雑誌名: American Institute of Physics ページ: 116-123
  • URL: http://dx.doi.org/10.1063/1.3630047
• [雑誌論文] Algebraic independence of infinite products generated by Fibonacci numbers (2010)
  • 著者名/発表者名: T. Kurosawa, Y. Tachiya, and T. Tanaka
  • 雑誌名: Tsukuba J. Math 巻: 34 ページ: 255-264
  • URL: http://projecteuclid.org/euclid.tkbjm/1302268248
  • 査読あり
• [学会発表] Algebraic independence of the values of certain infinite products and their derivatives related to Fibonacci and Lucas numbers (2012)
  • 著者名/発表者名: T. Tanaka
  • 学会等名: RIMS 研究集会「解析的整数論とその周辺 近似と漸近的手法を通して見た数論」
  • 発表場所: 京都大学数理解析研究所
  • 年月日: 2012-10-30
• [学会発表] Algebraic independence of the values of Mahler functions with 'negative'transformations (2012)
  • 著者名/発表者名: T. Tanaka
  • 学会等名: Diophantine Analysis and Related Fields 2012
  • 発表場所: 新潟大学
  • 年月日: 2012-01-10
• [学会発表] Algebraic independence properties related to certain infinite products and Lambert series (2011)
  • 著者名/発表者名: T. Tanaka
  • 学会等名: Diophantine Analysis and Related Fields 2011
  • 発表場所: 成蹊大学
  • 年月日: 2011-03-03
• [学会発表] Algebraic independence of the values of a certain entire function defined by the infinite product (2010)
  • 著者名/発表者名: T. Tanaka
  • 学会等名: RIMS 研究集会「解析数論 複素関数の値の分布と性質を通して」
  • 発表場所: 京都大学数理解析研究所
  • 年月日: 2010-10-08