| 研究概要 |
有限群のモジュラー表現における重要な問題のひとつに,与えられた群の可換不足群をもつブロックとそれにブラウアー対応するp-局所部分群のブロックは導来同値だろうと予想したブルエによる可換不足群予想がある。可換不足群予想の解決のためには非可換不足群をもつブロックについての考察も重要であると考えられている。また,有限体上の一般線型群などの無限系列の群についての可換不足群予想は,与えられた有限p-群を不足群にもつブロックの森田同値類は有限個だろうと予想したドノバン予想とも関係し重要である。本研究では,これらのことを踏まえて,非可換不足群をもつ一般線型群のブロックの森田同値類分類を行うことを目的の一つとしているが,そのための準備として,今年度はスコット加群のプラウアー直既約性に関する研究を行った。ブラウアー直既約性は,主ブロック間の森田同値や導来同値,安定同値を局所部分群のブロックの導来同値の張り合わせを用いて構成する際に重要となる概念で,可換なバーテックスをもつスコット加群の場合は,Brauer直既約性をもつこととバーテックス上のfusion systemがsaturatedとなることと同値であることをすでに示している。しかし,非可換なバーテックスをもつ場合については,ほとんど調べられていない。そこで,最初の例として位数8の2面体群をバーテックスにもつスコット加群について調べ,バーテックス上のfusion systemがsaturatedでさらに位数4の部分群に関する条件を加えることで,ブラウアー直既約性が成立することを示した。この例をもとにして,非可換なバーテックスをもつスコット加群のブラウアー直規約性についてより一般的な結果が得られないか考察をした。非可換不足群をもつ一般線形群の主ブロックの森田同値分類に関しても考察を続け,すでに得られている部分的な結果について,国際集会で発表をおこなった。
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