| 研究概要 |
今年度は以下の二点について研究した.
1. 円周の微分同相群の離散部分群：円周の微分同相群の離散部分群の典型例であるフックス群のうち余コンパクトでないものの変形について考察した. 特に, 二つの有限群の自由積の円周への向きを保つ作用たちの中で, フックス群としての作用が二つの生成元及びその積の回転数に関する条件により(準共役の不定性を除いて)特徴づけられることを示した. また, 上記の回転数に関する条件を充たす作用が効果的でありかつその作用から得られる円周の同相群の部分群がコンパクト開位相に関して離散的であることも示した. これらの結果は, 種数が2以上の曲面の基本群の円周への向きを保つ作用たちの中で余コンパクトなフックス群としての効果的な作用がオイラー数により特徴づけられることの類似と考えられる.
2. 収束群作用と相対的双曲群(尾國新一氏との共同研究)：二つの双曲群の間の単射準同型により各々のGromov境界の間の同変連続写像が誘導されるとき, その同変連続写像をCannon-Thurston写像という. Cannon-Thurston写像は双曲群の擬凸部分群の包含写像の場合など多くの場合に存在することが知られていたが, 今年度になりBaker-Rileyにより階数3の自由群からある双曲群へのの単射準同型であってCannon-Thurston写像が存在しないようなものが構成された. 今年度の研究では, 彼らの結果を用いて, 任意の非初等的な相対的双曲群にたいして, ある相対的双曲群への単射準同型であって放物的部分群を放物的部分群に移すがBowditch境界の間の同変連続写像を誘導しないようなものが存在することを証明した. 特に, 任意の双曲群に対して, ある双曲群への単射準同型であってCannon-Thurston写像が存在しないようなものが存在することを証明した.
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