| 研究概要 |
本年度は曲面結び目の不変量という観点から、大きく分けて以下の二点に関する結果を得た。
(1)p彩色可能な曲面結び目Kを非自明にp彩色するために必要な色の最小値をC(K;p)とおく.一般にC(K;3)=3かつC(K;5)≧4,C(K;7)≧4であること,5彩色に関するカンドルコサイクル不変量が非自明ならC(K;5)=5であることがすでに分かっている.今回広島大学の大城氏との協同研究により,7彩色に関するカンドルコサイクル不変量が非自明ならC(K;7)≧6であること,また実際にKが「5の2結び目の2ツイストスピン」とよばれる二次元結び目の場合にC(K;7)=6が成り立つことを示した.この結果はC(K;p)という不変量がFoxのp彩色可能性よりも深い不変量で,リボン型であるための障害の一つを与えること,カンドル不変量が非自明であってもC(K;p)<pとなる実例を与えた点で興味深い.
(2)二次元結び目の主なクラスとしてリボン型と変形スピンがある.リボン型二次元結び目のカンドル不変量は常に自明となる一方で,変形スパン結び目は基本的に非自明な値をとる.特にツイストスパン結び目に対してはこれまでに様々な計算がなされてきた.今回大阪市立大学の岩切氏との協同研究において,ロールスパン結び目に対するカンドル不変量の計算手法を初めて与え,その応用としてある十分大きなクラスのカンドルに対しては常にロールスパン結び目のカンドル不変量が自明となることを示した.非リボン型であるにも関わらずカンドル不変量が消える二次元結び目のクラスが初めて発見されたことは興味深い.
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