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ケーラーアインシュタイン計量や定スカラー曲率ケーラー計量の拡張としてCalabiの端的ケーラー計量がある．その存在問題は現在も未解決であり，ケーラー幾何の重要な問題の一つである．本年度の研究結果は，端的ケーラー計量の量子化とその応用である．Donaldsonにより，自己同型群が離散的な場合に偏極多様体上の定スカラー曲率ケーラー計量はbalanced計量と呼ばれる特別なBergman計量によって近似されることが知られていた．この結果を端的ケーラー計量の場合に拡張する場合，自己同型群が離散的ではなくなり，多様体が端的ケーラー計量を持っていたとしてもbalanced計量が漸近的に存在するとは限らないという問題がある．満渕氏は幾何学的不変式論の観点からbalanced計量を拡張することでDonaldsonの結果を端的ケーラー計量の場合に拡張した．この研究では，幾何学的フローを用いてbalanced計量の定義，および付随する結果の拡張をした．端的ケーラー計量はCalabiフローと呼ばれるフローの自己相似解として特徴付けられる．一方で，DonaldsonによりCalabiフローの離散化に相当する力学系が知られていた．そこでbalanced計量をその力学系の自己相似解として定義し，その性質を調べた．さらにその計量を特徴づける汎関数を導入し，その性質を調べた．その結果，端的ケーラー計量のために拡張された満渕Kエネルギーの近似を与えている汎関数を得た．応用として 「端的ケーラー計量は一般化された満渕Kエネルギーの最小値を与える」という結果（Chen-Tian，Donaldson，Li）に対して，偏極多様体の場合の別証明を与えた．これはDonaldson，Li の結果の一般化である．今後はこの一般化したbalanced計量と汎関数を用いた端的ケーラー計量の存在問題への応用を考えていきたい．
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