研究課題
本研究の目的は正則図形を用いて結び目や絡み目を研究することである。特に、正則図形として与えられた結び目や絡み目の型が自明か否かを判定することである。本年度は、単純リボン操作という結び目や絡み目に対する局所操作を定義し、ある一定の自然な条件の下にこの局所操作が結び目や絡み目の種数を増加させることを示した。従って単純リボン操作は結び目や絡み目の型を変える。さらには、ある結び目(絡み目)に単純リボン操作を施して得られた結び目(絡み目)は、元の結び目(絡み目)が自明か非自明かに関わらず、その結び目(絡み目)は非自明であることが言える。主結果である種数の増加を示すにあたっては単純リボン操作を与えるタングルの張るリボンディスクと、絡み目(結び目)の張るザイフェルト曲面の交差を解析することで示した。また、単純リボン操作が結び目や絡み目のアレキサンダー多項式に与える影響についても研究した。単純リボン操作は1型と2型に分かれるが、1型については結び目や絡み目のアレキサンダー多項式を変えないことを示した。従ってアレキサンダー多項式が自明なリボン型結び目を無限に系統的に与えることができた。また2型については常にアレキサンダー多項式を変化させることを示し、その変化量も求めた。さらに、自明な結び目から単純リボン操作を施して得られた結び目の素性についても研究した。このような結び目は、ある一定の自然な例外とスクエア結び目になる一例を除いて素であることを示すことができた。これは単純リボン操作を与えるタングルと自明な結び目が張るリボンディスクと、素分解球面との交差を解析することで示した。
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Memoirs of the Osaka Institute of Technology, Series A
巻: 55 ページ: 25-28
http://www.oit.ac.jp/ge/~tsukamoto/rsj.html
