|
本年度はラフパス理論の研究を続けた。主なテーマはガウス・ラフパスで駆動されるラフパスの意味での常微分方程式を考えて、その解をマリアヴァン解析を使って研究するのが主な内容であった。このテーマでプレプリントを２本書けた。一つは上記のラフパスの意味での微分方程式の解がマリアヴァン解析の意味で滑らかになることをかなり弱い十分条件の下で示した。これはラフパス理論においてマリアヴァン解析を使おうとする場合には「入り口」にあたる部分で、なんとしても一般的に整備しておく必要があったので、個人的には満足のいく成果であった。これによりマリアヴァン解析で知られている様々な定理の「ラフパス版」が近い将来に続々と証明されていくと個人的には予想している。筆者自身も来年度以降に、その種の問題に取り組むつもりである。もう一つは、ガウス・ラフパスの中でも特に重要な例とされる非整数ブラウン・ラフパスで駆動されるラフパスの意味での常微分方程式を考えて、その解の確率密度関数の短時間漸近挙動を調べた。これは通常の確率微分方程式で知られている非常に有名な漸近定理のラフパス版である。証明の道具として使ったのは、マリアヴァン解析のなかでも特に強力なことで知られる渡辺超関数とそれに対する漸近展開の理論である。確率論の華は漸近定理であるが、このようにかなり深い漸近定理がラフパス理論においても証明できたということは、ラフパスを研究するものとしてはかなり勇気づけられる事実であると思う。
|
