| 研究概要 |
半擬斉次孤立特異点に付随した代数的局所コホモロジーを計算するためのアルゴリズムを構成すると共に計算機に実装した。これにより特異点の性質の分析において,新たな計算機を使う手法が提案されると共に高次元のものまで解析できるようになった。さらに,このアルゴリズムをベースとし特異点の定義多項式にパラメータがある場合に拡張した。これにより半擬斉次孤立特異点に付随したパラメータ付きの代数的局所コホモロジーの計算が可能となった。これらのアルゴリズムは本研究代表者により計算機代数システム上に実装され,計算実験がされ今までのものよりも効率的で有用であることが確かめられた。この実装は計算機が自動的にパラメータの値によって場合分けを行うことより,特異点のパラメータ依存度が分かるという画期的なものとなっている。まだまだ試作段階であるので最終年度には完璧に完成する予定である。
本年度はあと1つとして包括的グレブナー基底の新しい計算アルゴリズムとその改良も行った。この計算アルゴリズムはイデアルの安定性の理論を使って構成されているが,今までものより強い安定条件が本年度得られたことで新しい計算アルゴリズムが導出された。また,一般的に包括的グレブナー基底計算アルゴリズムには2つの大きなステップがある。それは『簡約グレブナー基底計算』と『パラメータ空間の空集合チェック』である。今回導出された条件に適した『パラメータ空間の空集合チェック』用に今までのものを改良した。このアルゴリズムは今までに無い断片の数が極めて少ない出力をするアルゴリズムでパラメータ付き多項式系の問題を扱う際に有効な道具の一つとなる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
代数的局所コホモロジーの計算アルゴリズムが構成できたことが何より大きな要因である。代数的局所コホモロジーは多くの情報を含んでいることよりこれを使うことでメンバーシップ問題・スタンダード基底計算が可能である。これらの理論をパラメータ版に拡張するだけであるので,特異点方面の研究は順調に進んでいるといえる。また,包括的グレブナー基底の研究においていも新しく効率的なアルゴリズムが構築されており,こちらの研究も順調であると考えてよい。しかしながら,当初予定の応用面の研究では進展がみられていない実情がある。
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