| 研究概要 |
準相対論的Pauli-Fierzモデルおよび準相対論的Nelsonモデルのスペクトルの解析を行った。特に基底状態の存在、非存在に関する研究を行った。
(1)相対論的な荷電粒子が量子電磁場および固定された核子と相互作用をするモデルが準相対論的Pauli-Fierzモデルである。このモデルで荷電粒子が一個のみの場合を考察し、荷電粒子がポテンシャルに束縛される条件を満足のいく形でまとめることができた。この粒子が束縛されるための条件は、準相対論的シュレーディンガー作用素で同じポテンシャルを持つハミルトニアンが負の固有値を持つという条件であり、電磁相互作用の結合の大きさは依存しない。ただしN体の束縛条件を証明することは同様の方法では全く不可能であり、この点については失敗している。
(2)質量mのN個の量子論的粒子が量子ボース場と相互作用する、準相対論的Nelsonモデルを考察した。この系が非常に弱い引力型ポテンシャルVの影響を受けるとき、結合定数が十分大きく、質量NmとNVのポテンシャルをもつ1体の準相対論的シュレーディンガー方程式が束縛状態を持つとき、元のモデルにも基底状態が存在することが予想される。これをN=2の場合に証明した。
(3)量子的なダイナミクスに対するLiouvilleの定理を考察し、ある特異連続スペクトルを持つハミルトニアンに対して、すべての状態は非再帰的であることを証明した。また、ヒルベルト空間上にガウス測度を構成し、ハミルトニアンによるダイナミクスがエルゴード的となる条件を見いだした。
準相対論的Pauli-Fierzモデルに対する結果を「QMathll」(チェコ),「FOURTH SCHOOL AND WORKSHOP ON MATHEMATICAL METHODS IN QUANTUM MECHANICS」(イタリア)で発表した。
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