| 研究概要 |
さまざまな非線形問題の研究に於いて,ラプラシアンを変形・一般化して得られる非線形楕円型微分作用素が現れる.そのような非線形作用素を主要項に持つ発展方程式を考え,それらの解の漸近挙動とそのメカニズムを明らかにすることが本研究課題の全体目的である.
非ニュートン流の運動や第II種超伝導現象の巨視的モデルを表わすp-ラプラシアンを主要項に持つ発展方程式やプラズマ拡散を表わすFast diffusion方程式はその強い非線形性のため,解を具体的に求めることは難しい.本研究課題の今年度の取り組みでは,解の漸近的な形状(解の漸近形)を明らかにし,さらに解の漸近形が,初期値に対する摂動に対して安定的かどうかを調べる安定性解析を実施した.
そもそも解の漸近形の安定性・不安定性の概念が未定義であったため,それらを定義するところからはじめ,安定性解析を実施するためにある関数空間の曲面上の無限次元力学系を導入し,最終的には漸近形の安定性・不安定性に対する十分条件を与えた.大まかに言えば,符号変化している漸近形は不安定であり,その漸近形にある小さな摂動を加えたものを初期値とする解は,別の漸近形を持つことになる.一方,定符号の漸近形は安定である.よって小さな摂動ならは漸近形は変化しない.
さらに副産物として,ある爆発項付きの非線形放物型方程式の初期値空間を解の発散・消滅に応じて分類し,さらに前述した曲面がそれらのセパラトリクスになることを明らかにした.このように非線形偏微分方程式の初期値空間が漸近挙動に応じて完全に分類される例は少ない.
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