| 研究概要 |
本年度は主に次の研究を行った.1)超楕円曲線の加法を用いて周期離散戸田格子の時間発展を幾何学的に実現した.超楕円曲線の加法は種数0の曲線との交叉を用いて幾何学的に実現できる.一方,周期離散戸田格子の時間発展は,そのスペクトル曲線である,超楕円曲線のヤコビ多様体における平行移動に他ならない.そこで,超楕円曲線のピカール群の適切な部分集合からそのヤコビ多様体への同型写像を構成し,ヤコビ多様体の平行移動をピカール群の加法と同一視した.この同一視を通して,周期離散戸田格子の時間発展は対応する超楕円曲線と種数0の曲線との交叉を用いて実現できることを示した.種数2以下の場合については,その加法の具体型を求めた.2)周期離散戸田格子の超離散極限として得られる超離散周期戸田格子(周期箱玉系)に対しても,その時間発展は,スペクトル曲線としてのトロピカル超楕円曲線上の平行移動であることが知られている.本研究では,まずトロピカル超楕円曲線の加法は種数0のトロピカル曲線との交叉を用いて実現できることを示した.さらに,超楕円曲線の場合と同様に,トロピカル超楕円曲線のピカール群の適切な部分集合からそのヤコビ多様体への同型写像を構成し,ヤコビ多様体の平行移動をピカール群の加法と同一視した.これにより,超離散周期戸田格子の時間発展は対応するトロピカル超楕円曲線と種数0のトロピカル曲線との交叉を用いて実現できることを示し,種数2以下の場合については,その加法の具体型を求めた.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
離散可積分系の幾何学的研究に関しては,当初の計画以上に進展し,楕円曲線に限らず,超楕円曲線の加法と戸田格子などの離散可積分系との対応関係を明らかにしつつある.一方,可解カオス系に関しては,基礎的な研究を進めている段階である.
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| 今後の研究の推進方策 |
これまで2年間の研究により,超楕円曲線の加法と周期離散戸田格子との関係がほぼ明らかになった.また,それらのトロピカル幾何学的対応物についても,同様に研究が進展している.今後は,当初の計画にしたがって,(トロピカル)超楕円曲線のピカール群から可解カオス系を構成しその性質を詳しく調べる予定である.さらに,(トロピカル)超楕円曲線の加法と様々な有限次元可積分系(B,C,D型戸田格子,ラグランジュのコマ,コワレフスカヤのコマおよびそれらの超離散化など)との関係を明らかにすべく研究を進める予定である.
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