| 研究概要 |
主に,Ariki-Koike代数(G(r, l, n)型の複素鏡映群に付随するcyclotomic Hecke代数)とcyclotomic q-Schur代数のモジュラー表現論を中心に研究した。
cyclotomic q-Schur代数は,quasi-hereditary代数であることが知られており,特にそのWeyl加群(標準加群)の性質を調べることは重要である。そこで,既に得ていたcyclotomic q-Schur代数の生成元と基本関係式による表示を利用して,cyclotomic q-Schur代数のWeyl加群の指標をKostka数と,Littlewood-Richardson係数の一般化を用いて与えた。さらに,量子群における結晶基底の理論を用いることにより,これらを計算する方法を与えた。応用として,Weyl加群の指標達(Schur多項式の線形和になる)が対称関数のなす環の新しい基底を与えることを示し,いくつかの性質も得たが,これらの組み合わせ論的な性質や,その表現論的な意味づけに関してはまだ理解できていない部分も多く今後の課題である。
また,ランクの異なるcyclotomic q-Schur代数の有限生成加群のなす圏達の間に,誘導,制限関手を定義し,その性質を調べた。これは,(まだ未解決な部分もたくさんあるが)cyclotomic q-Schur代数に対するLLT-有木理論への第一歩である。さらに,Ariki-Koike代数のquasi-hereditary coverとして同値になる場合の有理Cherednik代数の圏0達の間の誘導,制限関手と(quasi-hereditary coverとしての同値を通じて)今回定義したcyclotomic q-Schur代数の有限生成加群のなす圏達の間の誘導,制限関手とが同値になることが示せた。
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