| 研究課題/領域番号 |
22K03245
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
谷川 好男 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 招へい教員 (50109261)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | 数論的誤差項の平均 / ディリクレ級数 / ペロンの公式 / 漸近展開 / 指数和 / 指数対 |
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| 研究実績の概要 |
数論的関数 f(n) の総和に伴う数論的誤差項 E(x) に対し，E(n)を係数とするディリクレ級数の解析的な性質(解析接続，極の位置とそこでの留数，Im(s) に関する増大度等)を調べ, それらの情報により E(n) の平均的挙動を求めるというのが当研究の目的である. この複素関数論的な方法を以下ではディリクレ級数法と呼ぶことにする. 2023年度は次のことを行った.
(1) 2022年度に Piltz の3次及び4次の約数関数の総和に対する誤差項に対して, その平均的挙動をディリクレ級数法で求めた論文を投稿していた. ディリクレ級数法によりある種の指数和が得られるのだが, それを詳しく調べることにより当初の結果を大きく改良できることがわかった．具体的には, 問題となる指数和を指数対を使って何通りかに表現し，場合に応じて指数対を適切に選ぶことにより, 以前の評価の大幅な改良を得た. すなわち誤差項の平均の上からの評価として, 3次の場合は O(x(log x)^{8/3}), 4次の場合は O(x^{443/388+ε}) を示すことができた. 後者は現在知られている指数対を使う限り最良の評価だと思われる. そこで投稿していた論文の改訂版を再投稿し受理された．
(2) 2022 年度には約数和に伴う数論的誤差項の平均をディリクレ級数法で導き, Bourgain の指数対を適用し，それが cx^2+O(x^{249/194}) と表されることを示した. その継続として, 約数の a 乗和に伴う数論的誤差項の平均的挙動を, 1/2 < a <1 の場合に，我々のディリクレ級数法を用いて研究した．この場合もゼータ関数を含んだ積分からヴォロノイ公式に類似した指数和が得られるのだが，良い評価を与える指数対の選び方を研究協力者とともに研究した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
研究実績の概要(1)で述べたように，Piltz の約数問題について投稿中の論文の結果を改良できることが判明し，共著者とともに全力でそれに取り組んだ. そのため2023年度に予定していた約数和の合同条件付きの場合や, 約数関数の convolution に伴う数論的誤差項の平均挙動の研究を完了できなかった． Piltz の約数問題では, 前年度の結果を改良する過程で, 指数和の良い評価を与える指数対の選び方がわかったので，この手法は今年度の研究対象にも応用できる.
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| 今後の研究の推進方策 |
2023年度の継続として, 約数の a 乗和に伴う数論的誤差項 E(x) の平均的挙動の研究を a>1 の場合に行う．a<1, a=1 と a>1 では扱いに差があるため注意して行う必要がある．更に E(x) の平均的挙動の主要な部分である指数和に対して, その良い評価を与える指数対の選び方を, 2023年度の経験を生かして確立する. そうしてこれらを論文としてまとめて投稿する．また当初の課題である整数の2乗和の表現数を調べるため, 約数和の場合に合同条件を付けて考察する．
さらに2023年度に予定していて完全にはできなかった約数関数や約数のべき和のconvolution に伴って得られる誤差項の平均的挙動の研究を完成させる．約数のべき和に伴う数論的誤差項の評価については Halberstam の詳しい研究があるので，その論文を精読し, その平均的挙動を我々のディリクレ級数法で導きたい．概要で述べたPiltz の約数関数の論文の最終セクションで, 我々のディリクレ級数法と Segal の恒等式の関連を述べたが，数論的関数のconvolution に伴う誤差項の場合は Segalの方法が適用できないので，我々のディリクレ級数法は特に意味がある．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究実績の概要で述べたように，2022年度に投稿した論文の結果が改良できることがわかり，研究協力者とともに全力でそれに取り組んだ．そのため当初予定していたパソコンを購入する機会を逸してしまった．本年度は必要なパソコンを購入するとともに，研究計画を達成するため, 研究協力者との研究打ち合わせを定期的に行いたい．
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