アーベル多様体の退化とモジュライのコンパクト化

2023 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 22K03261
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 中村 郁 北海道大学, 理学研究院, 名誉教授 (50022687)
• 研究期間 (年度): 2022-04-01 – 2026-03-31
• キーワード: ネロン・モデル / ボロノイ多面体 / ネロン・モデルのコンパクト化 / コンパクト化 / モジュライ / アーベル多様体 / fppf層

研究実績の概要

アーベル多様体のモジュライのコンパクト化に関連して、この1年間はネロン・モデルのコンパクト化の研究に集中して取り組んだ。Dedekind環の商体上のアーベル多様体G_etaに対してネロン・モデルcGが一意に定まることはよく知られている。2023年度の研究期間に進展したのは、このネロン・モデルcG のコンパクト化である。主要結果は以下のとおりである： G_etaが半安定なとき、そのネロン・モデルcGのコンパクト化Pで次の性質(i)-(iii)を持つものがただ一つ存在する：(i) 偏極が3次的 (ii) Cohen-Macaulayスキームで、(iii) P-cGが余次元2。現在、この成果について、論文2編を投稿準備中である。第一部は三井氏との共著論文、第二部は筆者中村の単著論文でともに完成した。第一部は完全退化の場合のPの構成を扱い、後半は部分退化の場合を扱う。ともに近くarXiv(preprint server)に提出して公開する予定である。適切な時期に投稿する。以前の論文の主要結果に課されていた仮定「ネロンモデルの連結成分の群の位数と剰余体の標数が互いに素」は除かれて、仮定すべき条件は半安定のみで、最終的な結果に改良された。また、第二部では、ネロン・モデルcG の退化データを構成して、そのデータをもとにコンパクト化Pを構成する。この退化データ構成の部分が最も困難な問題であった。第二部ではさらに、コンパクト化の一意性の証明および、Dedekind環上でもおなじ構成が可能であることを証明した。その結果、代数体の整数環上でも構成できることになり、整数論的な対象にも応用可能となり、理論の汎用性重要性は拡大した。このほか、関連する問題で、fppf前層の層化の存在を証明した。この論文も現在投稿を準備中である。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

アーベル多様体のモジュライのコンパクト化に関連して、この1年間はネロンモデルのコンパクト化の研究に集中して取り組んだ。その結果、定理の証明は終了、当面論ずべき課題はすべて終了した。数論的な曲線X_0(N)のJacobi多様体のネロン・モデルJ_0(N)への応用が次の課題である。そのため、超特異的な楕円曲線のある種の数え上げを実行する。これによってHecke 作用素を決定できると予想されるのでこれに取り組む。そのほかの応用は次年度以降の課題とする。

今後の研究の推進方策

第二部には、ネロン・モデルのコンパクト化以外にも重要な結果がある。Dedekind環上のネロン・モデルの代数体上の有理点と,Dedekind環の一つの素点に関する局所体上の有理点との比較定理である。この定理により、局所体上のDarmon点が実際には、いつ有理的であるか、判定可能かどうか興味ある問題である。今回得られた結果は、表現論的なものであり、証明も簡単なので真に有効な道具を与えるかどうかは確証がないが、一つの考察手段にはなるだろうと思われる。そのほかの問題として、知られている楕円曲線の有理点が、モジュライ論的にどのように解釈されるか、を探る。これらの問題への応用が可能なら、ネロン・モデルのコンパクト化に積極的な意味が生まれてくるのだが、すべて今後の課題である。

次年度使用額が生じた理由

研究集会（代数学シンポジウム、23年度8月）で発表予定でしたが、足の怪我で出席できなかったのでその出張旅費が残りました。24年度に出張を数回予定しているので、その費用の一部として使用予定です。