| 研究課題/領域番号 |
22K03263
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| 研究機関 | 弘前大学 |
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研究代表者 |
立谷 洋平 弘前大学, 理工学研究科, 准教授 (90439539)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | 空隙級数 / 線形独立性 / 約数関数 / ランベルト級数 / トゥエモース数列 / 代数的独立性 / 超越数 |
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| 研究実績の概要 |
令和5年度に得られた研究成果は以下の通りである。
1. 多項式指数をもつ空隙級数の線形独立性に関するV. Kumarの定理(2019)の一般化については令和4年度までに既に得られていたが、令和5年度はS.Chowla(1947),P.Erdos(1948)を基盤とする本研究手法の更なる応用可能性の探求に努めた。その結果、ヤコビテータ級数やランベルト級数といった異なる種の級数に対して、それらの値の線形独立性に関する新たな知見を見出すことができた。本結果は既知の研究結果の融合を与えるものであり、論文としてまとめ現在投稿中である。村上慎太郎氏(弘前大学)との共同研究による。
2. トゥエ・モース数列およびその部分列の数論的な性質については古くから多くの研究がある。今回、我々は各ベキ乗をわたる部分列の母関数を考察し、Pisot数やSalem数における値らの線形独立性に関する結果を導いた。本研究結果は、平方数や立法数をわたる部分列の母関数を取り扱った宮之原永士氏(2023、2024)による一連の結果を包括するものである。Michael Coons(California State University)との共同研究。
3. 空隙級数の無理数性や超越性に関するErdos(1957)の定理の条件の改良を目指して、令和4年度より継続して研究を進めていたが、令和5年度は空隙級数の係数の増大度と空隙のバランスを考慮することで、高次の線形独立性に関する一定の成果を得ることができた。約数関数やオイラー関数など古典的な数論的関数に付随する無限級数族に対する複数の興味深い応用例も発見された。本研究は、金子元氏（筑波大学）、鈴木雄太氏（立教大学）との共同研究によるものである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
S.Chowla-P.Erdosの手法の応用範囲を拡大し、保型形式の代表例であるヤコビテータ級数と長年研究対象としてきたランベルト級数の特殊値に対して、独立性に関する新たな知見を見出すことができたため。これは当初の研究計画において期待されていた応用面の一端である。また、Maichael Coons氏を招聘した際には、短期間のうちに研究の方向性を決定し、集中的な議論の末に一定の結果を得ることができた。この点は、計画外の予期せぬ収穫であった。いずれの結果も論文としてまとめることができ、本研究が順調に進展している一因として挙げられる。また、現在進行形で進めている空隙級数の無理数性や超越性に関する共同研究については、改良のバランスや具体例の探求に重点を置きながら慎重に検討を行っている。本研究の今後の発展には確かな手ごたえが感じられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度も引き続き、現在進行形であるErdos(1957)の定理の条件の緩和および代数的独立性に関する研究を推進させる。研究遂行のために継続して共同研究者と情報交換・共同討議を積極的に行う予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
物品(数論関係の書籍)の購入額を予定より抑えることができたため。次年度使用額については、当初の計画通り、関係書籍の購入や研究打ち合わせおよび研究集会参加を目的とした出張旅費の一部として支出する予定である。
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