| 研究実績の概要 |
quadrilateral ゼータ関数と関連するゼータ関数を主に研究した。quadrilateral ゼータ関数は報告者自身により定義された関数であり、$\zeta (s,a) + \zeta (s,1-a) + {\rm{Li}}_s (e^{2\pi ia}) + {\rm{Li}}_s (e^{2\pi i(1-a)})$、ただし$\zeta (s,a)$はHurwitzゼータ関数、${\rm{Li}}_s$は周期的ゼータ関数である、を２で割ったものとして定義される。この関数はリーマンゼータ関数と全く同じ関数等式を持つ。さらに無限個の零点を臨界線上に持つことも証明されている。一般には、quadrilateral ゼータ関数はリーマン予想の類似は満たさないので、関数等式がゼータ関数の零点に与える影響を考察するためには極めて重要な関数であると推測される。
（１）リーマンゼータ関数と全く同じ関数等式を持ち、かつリーマン予想を満たすというゼータ関数の構成に歴史上はじめて成功した。さらにリーマン--フォンマンゴルト漸近公式の類似も示した。Hardyゼータ関数の類似も定義し、その数値実験を行った。合同ゼータ関数に似たオイラー積表示を持つことも示した。
（２）さらに、Kajtaz H. Bllaca, Kamel Mazhouda との共同研究で、quadrilateral ゼータ関数に対するLi係数を定義し、そのLi係数が負になることがあることをした。例としては２番目のLi係数が負となるようなものを構成した。Li係数はその性質から、リーマン予想の類似を満たさないとき負になるLi係数が存在することが分かるが、具体的に何番めのLi係数が負になるかを決定した論文は、我々の論文を除き存在しないと考えられる。
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