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2022 年度 実施状況報告書

ポリヘドラルプロダクトのトポロジーと組み合わせ構造の研究

研究課題

研究課題/領域番号 22K03284
研究機関九州大学

研究代表者

岸本 大祐  九州大学, 数理学研究院, 教授 (60402765)

研究期間 (年度) 2022-04-01 – 2026-03-31
キーワード代数トポロジー / ホモトピー論 / 組み合わせ論 / ポリヘドラルプロダクト
研究実績の概要

ポリヘドラルプロダクトとは、抽象単体複体の組み合わせ情報をもとに通られた直積空間を貼り合わせて得られる空間である。例えば、座標空間配置やその補空間、トーリックトポロジーの中心的研究対象である(実)モーメントアングル複体やDavis-Januszkiewicz空間はポリヘドラルプロダクトの例である。ポリヘドラルプロダクトのトポロジーの研究において重要なのは、もととなる抽象単体複体の組み合わせ構造とポリヘドラルプロダクトのトポロジカルな性質の間の対応関係を明らかにすることである。例えば、モーメントアングル複体やDavis-Januszkiewicz空間のコホモロジーは抽象単体複体のStanley-Reisner環やその導来代数であることが知られており、ポリヘドラルプロダクトがトポロジー、組み合わせ論、可換環論とを結びつけることがわかる。

ポリヘドラルプロダクトと元となる抽象単体複体の組み合わせ構造との関係を調べるために、入江幸右衛門氏とファットウェッジフィルトレーションの理論を構築し、その応用として様々な結果を上げてきた。その一つが、閉曲面の三角形分割がGolodであることの特徴づけである。抽象単体複体のGolod性は古くから研究されているが、その組み合わせ的特徴づけは知られていない。当該年度は、3次元多様体の三角形分割のGolod性に関する研究を、ファットウェッジフィルトレーションを用いて行った。微分幾何学におけるタイトな埋め込みの組み合わせ版として、タイトな抽象単体複体が定義され、多様体の三角形分割の極小三角形分割と関連して盛んに研究されている。当該年度行なった研究により、Golod性、タイト性、ファットウェッジフィルトレーションの自明性が3次元多様体の三角形分割に対して同値であることを証明した。この結果は全く出自の違う抽象単体複体の性質を結びつける重要なものである。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

ポリヘドラルプロダクトの研究はトポロジーと組み合わせ論との架け橋を与え、特に、組み合わせ論の視点からだけでは発見できなかった組み合わせ構造の発見に貢献する。多様体の三角形分割のタイト性とGolod性とが関係していることは、組み合わせ論の視点だけからは見抜けず、ポリヘドラルプロダクトのトポロジーを通して初めて発見された。ポリヘドラルプロダクトのファットウェッジフィルトレーションの理論を用いて、これらの概念が同値であることが3次元の場合に示せた。また、一般次元の多様体の三角形分割に関しては高次プリズム作用素を用いた代数的な研究を進めている。さらに、ポリヘドラルプロダクトの研究で得たテクニックを応用することで、組み合わせ論の問題へ代数トポロジーを応用する研究も行い、Tverbergの定理の一般化などの結果を得た。以上より、研究の現在までの進捗状況はおおむね順調であると判断できる

今後の研究の推進方策

まず、一般次元の多様体の三角形分割に関するGolod性とタイト性の関係を代数的に明らかにする。そのために、Stanley-Reisner間のKoszulホモロジーの高次Massey積の自明性を証明しなければならない。そこで、ホモロジーのホモトピー不変性などの証明に用いられるプリズム作用素の高次元版を考える。次に、この研究が完成したのち、この代数的な結果をポリヘドラルプロダクトのトポロジーの研究へと還元する。特に、タイト性とファットウェッジフィルトレーションの関係を明らかにする。

ポリヘドラルプロダクトの研究で得られたアイディアやテクニックを組み合わせ論の問題へと応用する。現在までに、離散配置空間のホモトピー分解を通して、トポロジカルTverbergの定理をある種のCW複体からユークリッド空間への連続写像へと一般化することに成功している。このホモトピー分解はポリヘドラルプロダクトにアイディアのルーツをもつ。今後、van Kampen-Floresの定理など、関連する組み合わせ論の結果を代数トポロジーの視点から一般化する。

次年度使用額が生じた理由

コロナウィルス蔓延の影響で、出席予定だった海外の研究集会に参加できなかっため。使用できなかった分は、2023年度メキシコで開催される国際会議に出席するための旅費とする。

  • 研究成果

    (19件)

すべて 2023 2022 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (9件) (うち国際共著 2件、 査読あり 8件) 学会発表 (6件) (うち国際学会 4件、 招待講演 6件) 備考 (1件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [国際共同研究] University of Aberdeen/University of Southampton(英国)

    • 国名
      英国
    • 外国機関名
      University of Aberdeen/University of Southampton
  • [国際共同研究] University of Regina(カナダ)

    • 国名
      カナダ
    • 外国機関名
      University of Regina
  • [雑誌論文] The mod-p homology of the classifying spaces of certain gauge groups2023

    • 著者名/発表者名
      D. Kishimoto and S. Theriault
    • 雑誌名

      Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A

      巻: 153 ページ: 1805-1817

    • DOI

      10.1017/prm.2022.61

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Homotopy commutativity in Hermitian symmetric spaces2022

    • 著者名/発表者名
      D. Kishimoto, M. Takeda, and Y. Tong
    • 雑誌名

      Glasg. Math. J.

      巻: 64 ページ: 746-752

    • DOI

      10.1017/S0017089522000118

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] The Stiefel-Whitney classes of moment-angle manifolds are trivial2022

    • 著者名/発表者名
      S. Hasui, D. Kishimoto, and A. Kizu
    • 雑誌名

      Forum Math.

      巻: 34 ページ: 1463-1474

    • DOI

      10.1515/forum-2021-0267

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Polyhedral products over finite posets2022

    • 著者名/発表者名
      D. Kishimoto and R. Levi
    • 雑誌名

      Kyoto J. Math.

      巻: 62 ページ: 615-654

    • DOI

      10.1215/21562261-2022-0020

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Homotopy type of the space of finite propagation unitary operators on Z2022

    • 著者名/発表者名
      T. Kato, D. Kishimoto, and M. Tsutaya
    • 雑誌名

      Homology Homotopy Appl.(掲載決定)

      巻: - ページ: -

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Golod and tight 3-manifolds2022

    • 著者名/発表者名
      K. Iriye and D. Kishimoto
    • 雑誌名

      Algebr. Geom. Topol.(掲載決定)

      巻: - ページ: -

    • 査読あり
  • [雑誌論文] omotopy type of the unitary group of the uniform Roe algebra on Z^n2022

    • 著者名/発表者名
      T. Kato, D. Kishimoto, and M. Tsutaya
    • 雑誌名

      J. Topol. Anal.(掲載決定)

      巻: - ページ: -

    • DOI

      10.1142/S1793525321500357

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Hilbert bundles with ends2022

    • 著者名/発表者名
      T. Kato, D. Kishimoto, and M. Tsutaya
    • 雑誌名

      J. Topol. Anal.(掲載決定)

      巻: - ページ: -

    • DOI

      10.1142/S1793525321500680

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Homotopy types of gauge groups over Riemann surfaces2022

    • 著者名/発表者名
      M. Kameko, D. Kishimoto, and M. Takeda
    • 雑誌名

      Algebr. Geom. Topol.(掲載決定)

      巻: - ページ: -

  • [学会発表] Golod and tight 3-manifolds2022

    • 著者名/発表者名
      D. Kishimoto
    • 学会等名
      Advances in Homotopy Theory III
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Golod and tight 3-manifolds2022

    • 著者名/発表者名
      D. Kishimoto
    • 学会等名
      Homotopy Theory Symposium 2022
    • 招待講演
  • [学会発表] Tverberg's theorem for cell complexes2022

    • 著者名/発表者名
      D. Kishimoto
    • 学会等名
      New Trends in Transformation Group Theory
    • 招待講演
  • [学会発表] Golod and tight 3-manifolds2022

    • 著者名/発表者名
      D. Kishimoto
    • 学会等名
      International Polyhedral Products Seminar (Princeton University)
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Tverberg's theorem for cell complexes2022

    • 著者名/発表者名
      D. Kishimoto
    • 学会等名
      Math and Biology Seminar (BIMSA
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Golod and tight 3-manifolds2022

    • 著者名/発表者名
      D. Kishimoto
    • 学会等名
      Topology Seminar (University of Aberdeen
    • 国際学会 / 招待講演
  • [備考] Daisuke Kishimoto

    • URL

      https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~kishimoto/home.html

  • [学会・シンポジウム開催] Classifying Spaces in Algebraic Topology: in honour of Ran Levi's 60th Birthday2022

URL: 

公開日: 2023-12-25  

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