| 研究実績の概要 |
３次元ユークリッド空間内の古典的結び目および４次元ユークリッド空間内の曲面結び目の不変量として、カンドルによる彩色がある。特に二面体カンドルによる彩色がフォックス彩色である。結び目は適当なブレイドおよびその一般化であるタングルの閉包として表されることから、ブレイドに対する彩色を研究することは重要な課題のひとつである。
前年度までの研究において、仮想タングルの単点に与えられた色が適当なZ彩色によって実現するための必要十分条件を与えることができた。本年度はこの結果をふまえ、古典的ブレイドに対するZ彩色の研究を行なった。
Z^mの二つの元v, wに対して、適当な古典的ブレイドbでvb=wを満たすものが存在するときvとwは同値と定める。三つの不変量Δ, d, Mを導入して、vとwが同値であるための必要十分条件がこれら三つの不変量が一致することであることを示した。
これを用いると、m次ブレイド群B_mはm次純ブレイド群PB_mを部分群にもつことから、Z^mへの作用の制限を考えることができる。Z^mの二つの元がPB_mの作用による同じ軌道に属するための必要十分条件がΔ, dに加えてMを精密化した不変量が一致することであることを示した。
またブレイドの拡張としての(m,m)タングルについて考えた。d(v)の2のべきのみを取り出したd_2(v), M(v)を2d_2(v)を法に落としたM_2(v)を導入することで、Z^mの二つの元が適当なZ彩色をもつ(m,m)タングルを介して移り合うための必要十分条件がΔ, d_2, M_2が一致することであることを示した。
さらにこれらの概念の合体といえるm本ストリング絡み目についても、二つの元が適当なm本ストリング絡み目で移り合う必要十分条件がΔ, d_2に加えてM_2を精密化した不変量が一致することであることを示した。
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