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2022 年度 実施状況報告書

ミラー対称性の幾何学

研究課題

研究課題/領域番号 22K03296
研究機関慶應義塾大学

研究代表者

金沢 篤  慶應義塾大学, 総合政策学部(藤沢), 准教授 (40784492)

研究期間 (年度) 2022-04-01 – 2027-03-31
キーワードミラー対称性 / K3曲面 / Brauer群 / 共形場理論 / BCOV理論 / 保型形式 / tt*-幾何 / 周期積分
研究実績の概要

Dolgachevによる格子偏極K3曲面のミラー対称性の定式化は, "偏極格子の(K3格子内での)直交補格子が双曲格子Uを含む"という条件が課されるため, ミラー対称性の完全な定式化とはなり得ないことが知られていた. 以前の研究において, 我々は対象を一般化K3曲面に拡張することでこの問題を解決し, 一般化K3曲面のミラー対称性の定式化を提案した. 鍵となるアイデアは向井格子偏極である. 本年度は特に直交補格子が双曲格子の真の定数倍U(k)のみ含む場合をさらに考察し, 幾何学的にはBrauer群の捻り, 及び非可換変形として理解できることを示した. また向井格子偏極を課した一般化K3曲面のモジュライ空間の記述をより明確にし, 共形場理論的なミラー対称性(Aspinwall-Morrison)との関係を明らかにした.

細野忍氏との共同研究において, 種数1のミラー対称性(BCOV理論の特別な場合)を援用することで, 格子偏極K3曲面のモジュライ空間であるIV型対称領域のカスプ形式を構成する新たな手法を提案した. 具体的には, 3次元Calabi-Yau多様体に関する種数1のWitten指数の位相極限公式をK3曲面に適当に適用することでBCOV公式を定義し, さらにモジュライ空間上で自然な境界条件を課すことで保型形式が得られることを多くの例で確認した. 特にClingher-Doranが研究したU+E_8+E_9偏極K3曲面に対しては, BCOV公式から井草カスプ形式が得られることを示した. 一般論を確立するまでには至っていないが, 多くの興味深い例の存在はこの新しい分野の重要性を示唆していると考えている.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

一般化K3曲面のミラー対称性の理解を深める具体的な計算を実行できたこと, 及びBCOVカスプ形式に関して論文を1本纏めることができたため. どちらも類似の研究は見受けられないことから, 先駆的な研究だと考えられる.

今後の研究の推進方策

一般化K3曲面のミラー対称性の理解がある程度深まったので, 3次元の場合に本格的に取り組みたい. 一般化K3曲面の自己同型群に関しても少しずつ研究を進めている. またK3曲面のモジュライ空間のtt*-幾何に関しても研究を進め, BCOV理論, 金子-Zagier理論(準保型形式)との関係も明らかにしたい.

次年度使用額が生じた理由

コロナのために海外出張が中止になった. また計算機なと物品購入を次年度に延期した.

  • 研究成果

    (8件)

すべて 2023 2022 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (3件) (うち招待講演 3件) 備考 (1件) 学会・シンポジウム開催 (2件)

  • [国際共同研究] Tsinghua University(中国)

    • 国名
      中国
    • 外国機関名
      Tsinghua University
  • [雑誌論文] Attractor mechanisms of moduli spaces of Calabi-Yau 3-folds2023

    • 著者名/発表者名
      Yu-Wei Fan, Atsushi Kanazawa
    • 雑誌名

      Journal of Geometry and Physics,

      巻: 185 ページ: -

    • DOI

      10.1016/j.geomphys.2022.104724

    • 査読あり
  • [学会発表] 一般化K3曲面のミラー対称性2022

    • 著者名/発表者名
      金沢篤
    • 学会等名
      第69回幾何学シンポジウム, 東京理科大学
    • 招待講演
  • [学会発表] Mirror symmetry for generalized K3 surfaces2022

    • 著者名/発表者名
      Atsushi Kanazawa
    • 学会等名
      Calabi-Yau Manifolds and Mirror Symmetry -Past, Present, and Future-, Gakushuin University
    • 招待講演
  • [学会発表] Attractor mechanisms of moduli spaces of Calabi-Yau 3-folds2022

    • 著者名/発表者名
      Atsushi Kanazawa
    • 学会等名
      Boston-Keio-Tsinghua Workshop 2022
    • 招待講演
  • [備考] https://sites.google.com/view/akanazawa/

  • [学会・シンポジウム開催] Aspects of Mirror Symmetry 2022,2022

  • [学会・シンポジウム開催] Calabi-Yau Manifolds and Mirror Symmetry - Past, Present, and Future -2022

URL: 

公開日: 2023-12-25  

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