| 研究課題/領域番号 |
22K03297
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| 研究機関 | 東京女子大学 |
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研究代表者 |
新國 亮 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (00401878)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | 最小交差数 / △Y変換 / 結び目内在性 / Heawood 族 |
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| 研究実績の概要 |
１．グラフの最小交差数とは，グラフを平面にジェネリックにはめ込んだときの横断的2重点の最小個数をいう．一方，グラフの△Ｙ変換とは，グラフの結び目内在性及び絡み目内在性を保存する性質を持つことで知られる，ある変形操作である．Heawood 族と呼ばれる有名な結び目内在グラフの族においては，グラフ K_7 に適当に△Ｙ変換を施すことで，より最小交差数の小さい結び目内在グラフが得られる．このことに着目し，Youngsik Huh 氏 (Hanyang University) との国際共同研究によって，一般の完全グラフに施す△Ｙ変換の列における最小交差数の振る舞いを調べて以下の結果を得た．これらの結果はプレプリントにまとめて arXiv:math.CO/2402.10633 で公開している．
(1) n≧7のとき，n頂点完全グラフ K_n 上の1回の△Ｙ変換は，グラフの最小交差数を必ず減少させる．
(2) n≧7のとき，n頂点完全グラフ K_n 上のちょうど1頂点を共有する2つの3サイクルにおいて順に施す△Ｙ変換は，いずれもグラフの最小交差数を真に減少させる．互いに交わらない2つの3サイクルにおいて順に施す△Ｙ変換の場合は， n=7 のときに反例がある．
(3) 任意の正の整数 k に対し，十分大きな正の整数 n と，K_n に k 回施す△Ｙ変換の列が存在し，これら k 回の△Ｙ変換はどれもグラフの最小交差数を真に減少させる．
２．研究集会「結び目理論」(2024年2月，東京女子大学)を開催し，多くの研究者との研究交流・情報交換を実施した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
空間グラフの内在的性質の研究という本研究課題の目的において，空間グラフの射影図と平面のトポロジーの立場から新たな知見を得ることができ，予想外の成果が上がっている．
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| 今後の研究の推進方策 |
当初の計画通り研究を推進する．国内外の研究集会やセミナーに足を伸ばして研究成果の発表や最新の情報の交換及び研究交流を行なう．また漢陽大の Youngsik Huh氏 との連携を継続し，今年度も国際共同研究打ち合わせを実施する予定である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2022年度以前に，新型コロナウイルス感染症(COVID-19)による国内外の社会的混乱の影響で，特に研究出張を満足に行なえなかったことがまだ尾を引いている．社会情勢は正常化したので，次年度は研究代表者及び研究協力者の国内外の研究出張を中心に使用する．
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