| 研究課題/領域番号 |
22K03301
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
市原 一裕 日本大学, 文理学部, 教授 (00388357)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| キーワード | 矯飾的手術 / デーン手術 / 3次元多様体 / 結び目 |
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| 研究実績の概要 |
我々が住んでいるこの空間のように，局所的に3次元の座標が設定できる空間(位相空間)を3次元多様体という。3次元多様体の改変操作としてよく知られている操作にデーン手術と呼ばれる操作がある。一般には，デーン手術により，元とは異なる3次元多様体が生成されるが，稀に，元の多様体と同じ(同相な)多様体を生成することが起こりうる。これが，いわゆる矯飾的手術(cosmetic surgery)と呼ばれる手術であり，本研究課題の主な研究対象である。
本研究では，最も基礎的な3次元多様体である3次元球面を含むクラスである有理ホモロジー球面（1次元ホモロジー群が巡回群となり2次元以上では３次元球面と同型なホモロジー群をもつ3次元多様体)を取り上げる。そして有理ホモロジー球面内の結び目に沿った矯飾的手術を，様々な研究技法を組み合わせた融合的なアプローチにより分類することを，本研究の目標として設定した。より具体的には，A) 有理ホモロジー球面内の非自明な結び目に対して，向きを保って同相な3次元多様体を生成する手術(純矯飾的手術)は存在しないこと示すこと，B) 有理ホモロジー球面内の結び目に沿った向きが逆で同相な3次元多様体を生成する手術(鏡像矯飾的手術)を分類することを目指す。
当該年度には，鏡像矯飾的手術についての研究を進め，有理ホモロジー球面内の結び目に沿った手術係数が半整数手術（半整数である手術）および例外的手術（双曲結び目に沿った非双曲的多様体を生成する手術）について，いくつか制約をえた。これらは上記目標B)についての直接的な研究成果である。また関連するデーン手術研究として，３次元球面内の２橋絡み目に沿った例外的デーン手術の分類に関する研究，さらに関連する結び目理論の研究として，３次元球面内の２橋結び目の対称和表示についての研究も行った。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
研究課題３年目であり，目的の一つである鏡像矯飾的手術の分類に向けて，様々なアプローチを検討しつつ研究を進めた。得られた鏡像矯飾的手術に関する結果は限定的なものではあるが，３次元多様体のキャッソン不変量やザイフェルト構造をもとに，３次元球面以外のホモロジー球面内の結び目についても，幾つかの制約を得ることができており興味ぶかいと考えられる。
また，その制約の一つである例外的手術の研究として，３次元球面内の２橋絡み目に沿った例外的手術の分類に向けての結果も得られた。この結果の証明の一部はコンピュータ援用によるものであり，本課題である矯飾的手術研究への適用も検討したい。
さらに，デーン手術の台となる結び目に関する研究（結び目理論）において，矯飾的手術の研究は，いわゆる結び目の補空間問題（同じ（同相な）補空間をもつ結び目は同値（連続変形で移り合う）かという問題）と密接な関係がある。そのため，３次元球面内の２橋結び目の性質（対称和表示）の研究には本研究課題に関連する研究題材として意味がある。今年度得られた結果はその意味で主たる研究課題に関連する基礎研究として十分に価値があるものと捉えている。また研究代表者にとって，そのような結び目理論に関する知識・技能を深めることは次年度以降のさらなる研究の発展・深化に向けて重要な一歩であるとも考える。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究主題である有理ホモロジー球面内の結び目に沿った矯飾的デーン手術については，本研究課題の目標達成に向けて，これまでの研究を踏まえ，いくつかの３次元多様体の不変量（例えば，キャッソン不変量）の手術公式や３次元多様体の双曲構造を用いたアプローチを展開していきたいと考えている。
一方で，今年度と同様，直接のアプローチだけでなく，関連する結び目理論や３次元多様体のデーン手術の研究も，基礎研究として併せて進めていきたい。数学の研究において，一見して直接の関連がなさそうな研究に見えても，その手法や知識が思ってもみないような形で活用されるということは十分にありうる。そのため，視野を広く持ち，多くの研究者と広く交流を深めながら，研究を進めていく。
また次年度は本研究課題の最終年度であり，最新の研究動向によって，状況の変化も多いに考えられる。そのため，国内外の研究集会等に積極的に参加し研究発表を行うなど，柔軟に研究計画を変更していくことも検討する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
ほぼ予定通りに使用ができていたが，9月に開催した研究集会における海外からの研究者招聘に際して，近年の航空券等の高騰により，年度途中に残額不足の可能性が生じた。そのため，次年度使用額からの前倒し申請を行った。その際に念のため，余裕が出るように申請したため，次年度使用額が発生した。次年度は研究計画の最終年度であり，研究発表等のため旅費等に研究費を充てる必要があり，近年の動向を踏まえて適切に使用したいと考えている。
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