ランダム媒質中で時間発展する確率模型の研究

2022 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 22K03351
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 中島 誠 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (60635902)
• 研究期間 (年度): 2022-04-01 – 2027-03-31
• キーワード: シュレディンガー作用素 / 相互作用

研究実績の概要

量子力学においては非線形作用素の自己共役性が非常に重要である. しかし一般の非線形作用素は自己共役ではないため, 自己共役拡大と呼ばれるものを考えることがある. 今年度の研究では3次元ユークリッド空間から原点を取り除いてできる空間上でラプラシアンを考え, そのL^2での自己共役拡大に注目した. これはS. Albeverioらによって古くから研究されており関数解析の手法で具体的に1つのパラメータの族になることが知られている. 一方でこの拡大ラプラシアンは短距離相関を持つシュレディンガー作用素によってノルムレゾルベントの意味で近似できることも示されていた. 確率論の視点で見るとシュレディンガー作用素に対応する半群を考えると自然にFeynman-Kac公式が現れることに注目し, Feynman-Kac公式から誘導される測度で考えたBrown運動の極限を考えることにした. その結果Brown運動と特異な確率過程が自然に現れることが示された. これはCranstonらの構成した確率模型と同等のものであるが, 彼らの構成は非自明な遷移確率を用いて構成したのに対し, 今回の結果ではピニング模型の理論を用いて構成的に極限過程を導けたため, 見通しが良くなった.

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当初予定していた2次元確率熱方程式の性質の研究においては進展はあまり見られなかった. 一方でその研究を進めていくうちに, Schrodinger作用素のL^2における自己共役拡大に関連する問題をピニング模型というこれまで研究してきた確率模型の問題に落とし込むことに着目することでSchrodinger作用素のL^2における自己共役拡大に対応する熱方程式とそのFeymnan-Kac表現を与えることに成功したことは非常に大きな進展であると言える. 先行研究でも上記の熱方程式の基本解の表現は与えられており, またFeynman-Kac表現で現れる確率過程Bの存在はわかっていた. 今回はpinんing模型による理論を用いることで非自明であった確率過程Bの具体的な表現が与えられたことに意味がある.

今後の研究の推進方策

今回の1点と相互作用を持つシュレディンガー作用素に対応する確率過程は非常に興味深いものである. 一方でその構成法から個人的には半群に対する具体的なFeynman-Kac公式とは言い難いものがある. というのも通常では現れないような係数を導入して記述するからである. これは主にエネルギーの増加に対応するものが現れているものと思われる. そこでエネルギーの増加を粒子の増加に置き換えることで同様に記述できる方法を検討していく.

次年度使用額が生じた理由

2018年度に採用された課題がコロナにより繰り越されそちらの方の使用を優先した. 2023年度は大きな国際研究集会が国内で開催され海外の講演者に旅費を出すことを計画しているため2022年度の繰越分も使い切ることになると思われる.

研究成果

• [雑誌論文] Fluctuations of two-dimensional stochastic heat equation and KPZ equation in subcritical regime for general initial conditions (2023)
  • 著者名/発表者名: Shuta Nakajima
  • 雑誌名: ELECTRONIC JOURNAL OF PROBABILITY 巻: 28 ページ: 1-33
  • DOI: 10.1214/22-EJP885
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Law of large numbers and fluctuations in the sub-critical and L2 regions for SHE and KPZ equation in dimension d≧3 (2022)
  • 著者名/発表者名: Clement, Cosco. Shuta, Nakajima. Makoto Nakashima
  • 雑誌名: Stochastic Processes and their Applications 巻: 151 ページ: 127 - 173
  • DOI: 10.1016/j.spa.2022.05.010
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [学会発表] Feynman-Kac formula associated with Schrodinger operator with one point interaction (2023)
  • 著者名/発表者名: Makoto Nakashima
  • 学会等名: Workshop on Probabilistic Methods in Statistical Mechanics of Random Media and Random Fields
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 高分子模型の臨界点近傍での挙動および 1 点と相 互作用をもつ Schrodinger 方程式 (2022)
  • 著者名/発表者名: 中島誠
  • 学会等名: 京都大学理学研究科数学教室談話会
  • 招待講演
• [学会発表] ランダム媒質中のピニング模型およびディレクティドポリマーの自由エネルギーに関する補足 (2022)
  • 著者名/発表者名: 中島誠
  • 学会等名: The 20th Symposium Stochastic Analysis on Large Scale Interacting Systems
  • 招待講演
• [学会発表] A remark of the free energy for disordered pinning model and directed polymers in random environment (2022)
  • 著者名/発表者名: Makoto Nakashima
  • 学会等名: Open Japanese-German conference on stochastic analysis and applications
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] A remark of the free energy for some disordered systems (2022)
  • 著者名/発表者名: Makoto Nakashima
  • 学会等名: Probability and Analysis on Random Structures and Related Topics
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Gaussian fluctuations of stochastic heat equation and KPZ equation in higher dimension in L^2-regime (2022)
  • 著者名/発表者名: Makoto Nakashima
  • 学会等名: 42nd conference on Stochastic Processes and their Applications
  • 国際学会 / 招待講演