超幾何関数と超幾何群の新展開

2023 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 22K03365
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 岩崎 克則 北海道大学, 理学研究院, 特任教授 (00176538)
• 研究期間 (年度): 2022-04-01 – 2025-03-31
• キーワード: 超幾何関数 / 超幾何群 / K3 曲面 / 正則自己同型 / 力学系 / 不変集合 / Siegel 円板 / 回転領域

研究実績の概要

本年度は、超幾何群とそれに付随する超幾何格子を用いて K3 曲面上の複素力学系の理論を展開する課題を発展させた。一般に、コンパクト複素曲面の正則自己同型写像の力学系を考える。写像の反復合成がコンパクト開位相に関して実 d 次元トーラス作用を誘導するような Fatou 集合の連結成分を、階数 d の回転領域という。複素曲面が Kaehlerで、写像の位相的エントロピーが正である場合、階数 d は 1 か 2 であることが知られている。特に、階数 1 の回転領域をもつような自己同型の存在を示すことに興味がある。
このテーマについては、複素曲面が有理曲面の場合には、そのような自己同型の存在が既に示されていたが、K3 曲面に関しては、筆者の知る限り手つかずであった。その理由は、有理曲面の場合は、空間や写像が具体的な式で記述できるのに対して、K3 曲面の場合には、空間や写像の具体的表示は期待できず、コホモロジー群への誘導写像のレベルにおいて間接的・抽象的にものごとを制御するしかないからである。
そこでわれわれは、超幾何群およびそれに付随する超幾何格子を用いて、位相的エントロピーが正で階数１の回転領域をもつ K3 曲面自己同型を構成することに成功した。特に階数１の回転領域と階数 2 の回転領域が共存するような正則自己同型の存在を示すことができた。超幾何群・超幾何格子の方法は、上記のようなコホモロジー群のレベルでの考察に非常に適しており、本研究成果を得ることができた所以となっている。
なお研究代表者は 2023 年度日本数学会秋季総合分科会の企画特別講演者に選出された。そこで「超幾何群と K3 曲面上の力学系」と題して、本研究課題に関するこれまでの研究成果を中心とする内容の特別講演を行った。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

これまでに、本研究課題の成果に関する査読付論文 K. Iwasaki, Y. Takada, K3 surfaces, Picard numbers and Siegel disks, Journal of Pure and Applied Algebra, Vol. 227 (2023), no.3, Article 107215, 31 pages が出版された。また口頭発表として、数学研究者全般向けの啓蒙的講演会である第 76 回 Encounter with Mathematics, K3 曲面―未だ尽きぬその魅力―（2023 年6月）や、2023 年度日本数学会秋季総合分科会（2023 年 9 月）の企画特別講演等に講演者として招待され、本研究課題のこれまでの研究成果を中心とする内容を非専門家向けに講演した。
K3 曲面上の複素力学系の不変集合の研究においては、Siegel 円板をもつ正則自己同型の構成から更に進んで階数１および階数 2 の回転領域をもつ正則自己同型を構成することができた。そこには超幾何群の方法が有効に使われている。これらの結果は次年度に論文としてまとめる予定である。
これらの状況に鑑みると研究計画はおおむね順調に進展しているといえる。

今後の研究の推進方策

次年度（令和 6 年度）はまず、超幾何群と K3 曲面上の回転領域に関するこれまでの研究成果を論文にまとめる。さらに、回転領域に関する結果を深めるために、単純特異点論と非線形写像の同変線型化の問題に取り組む。
K3 曲面内の (-2)-曲線からなる例外集合は、K3 曲面自己同型の不変集合となる。この不変集合の連結成分を例外成分とよぶ。与えられた例外成分が、階数２の回転領域に含まれるか、階数１の回転領域に含まれるか、あるいはそのどちらでもないかを判定することは興味深い問題である。例外成分を１点に潰すと単純特異点が現れる。これは有限群による商特異点となる。そこで、上記の判定は、もともとの正則自己同型を有限群の作用に関して持ち上げた同変非線形写像の同変線型化を通して行われることが期待される。
従って、固定点における非線形写像の線形化理論の、有限群の作用に関する同変版を構築し、単純特異点論との関係を論じることが重要な課題となる。特に例外成分の Dynkin 型と回転領域の階数の関係を考察することが興味深い。本年度はそのための理論構築を試みる。また理論の検証のための豊富な実例を超幾何群の方法により構成する。
次年度（令和 6 年度）はまた、超幾何群を一般化した概念である Rigid 群についての考察を開始するために、Middle convolution 函手に関する既存の理論の見直しの作業にも着手する。

次年度使用額が生じた理由

本研究課題においては、旅費が経費の大きな部分を占めている。初年度は、未だ新型コロナウィルス感染症の状況が改善されていなかったため、研究集会等へはオンラインで参加し、出張旅行を控えてきた。また、初年度は、既存の PC や数式処理システム Mathematica で用が足りたため、物品購入の必要はなかった。今年度は、コロナの状況が改善したため、経費を出張旅費として有効に活用した。また、器材が古くなってきたため、これらを新規に購入し、研究実施に役立てた。次年度は、引き続き、持ち越しとなった経費を旅費として活用し、研究集会等での情報収集や成果発表を積極的に行う予定である。

研究成果

• [雑誌論文] 超幾何群と K3 曲面上の力学系 (2023)
  • 著者名/発表者名: 岩崎 克則
  • 雑誌名: 2023 年度日本数学会秋季総合分科会 総合講演・企画特別講演アブストラクト 巻: - ページ: 37-47
• [学会発表] 超幾何群と K3 曲面上の回転領域 (2024)
  • 著者名/発表者名: 岩崎 克則
  • 学会等名: Painleve 方程式の幾何学とその周辺
  • 招待講演
• [学会発表] Hypergeometric groups and automorphisms of K3 surfaces (2023)
  • 著者名/発表者名: Katsunori Iwasaki
  • 学会等名: Web-Seminars on Painleve Equations and Related Topics
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] K3 曲面と超幾何群 (2023)
  • 著者名/発表者名: 岩崎 克則
  • 学会等名: 第76回 Encounter with Mathematics, K3 曲面―未だ尽きぬその魅力―
  • 招待講演
• [学会発表] 超幾何群と K3 曲面上の力学系 (2023)
  • 著者名/発表者名: 岩崎 克則
  • 学会等名: 2023年度日本数学会秋季総合分科会 企画特別講演
  • 招待講演