| 研究課題/領域番号 |
22K03400
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| 研究機関 | 東邦大学 |
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研究代表者 |
石原 哉 東邦大学, 理学部, 訪問教授 (10211046)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| キーワード | 構成的数学 / 一様空間 / 完備化 / 構成的集合論 / 積分論 / バナッハ空間論 |
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| 研究実績の概要 |
古典的数学では同値になる一様空間の擬距離による定義と近域による定義を構成的数学の視点から吟味した。擬距離によって定義できない構成的一様空間が存在することが明らかになり、近域に基づいた定義を採用する必要があることが判明した。また、一様空間のフィルターによる完備化と有向点列を用いた完備化を構成的集合論の視点から吟味した。有向点列を用いた完備化は直観的にわかりやすく自然であるが、選択公理を用いることのできない構成的集合論では一様空間を集合として定義することはできず、セトイド（集合とその上の同値関係の対）として定義しなければならないことが明らかになった。すべての集合をセトイドで置き換えると理論構成が複雑で煩雑になるため、サンビン（Sambin）が構成的位相空間論の基礎として導入した基本対の概念を参考に、空間はセトイドとしてその上の一様構造は集合として定義した。そのうえで、一様空間の間の一様連続写像および一様空間の完備化を定義し、完備化が持つべき普遍性が成り立つことを示した。また、完備一様空間および一様空間の積を定義し、完備一様空間の積が完備であること、２つの一様空間の積の完備化とそれぞれの完備化の積が一様同相であることを示した。
さらに、このように構築した構成的一様空間論を用いた積分論の展開およびバナッハ空間の双対空間の解析に関する調査を行った。可積分関数のノルム収束は距離位相および可測関数の測度収束は一様位相で与えられること、バナッハ空間の双対空間の強位相は双対空間の吸収的絶対凸集合を用いた一様構造で定義できる可能性があることがわかった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
サンビンの基本対の概念を参考に集合による一様構造をもつセトイドとして一様空間を定義したことが大きな進展である。完備化や積およびそれらの性質を自然に定義し示すことができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
構築した構成的一様空間論を用いた積分論の展開とバナッハ空間の双対空間の解析を行う。可積分関数のノルム収束は距離位相を用いて、可測関数の測度収束は一様位相を用いて捉えることができる。ベクトル束（セトイド）に２つの一様構造を与え、それぞれの一様空間の完備化により可積分関数の空間および可測関数の空間を定義する。それらの間の関係（埋め込み）を調べ、ファトゥーの補題やルベーグの収束定理の証明を試みる。
線形空間（セトイド）の吸収的絶対凸集合により一様構造を定義すること、およびそれを用いてバナッハ空間の双対空間の強位相を構成的に与えることを試みる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
年度末（3月後半）に学会講演・共同研究のため日本数学会（大阪）・ヴェローナ大学・パドヴァ大学に出張したが、次年度に旅費精算が行われるため次年度使用額が生じた。
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