| 研究実績の概要 |
今年度の研究では, p進群のdistinguished表現に関する予想である, プラサド-タクルー・ビガシュ予想に関連して, 局所相対跡公式とそれに付随する重複度公式について調べた.
プラサド-タクルー・ビガシュ予想の元々の形は, 与えられた生成的表現がdistinguishedであるための必要条件を, イプシロン因子(ルート数)に関する式で与えるというものであった. そのような予想はイプシロン二分法と呼ばれ, 局所ガン-グロス-プラサド予想がその典型例とされる. 局所ガン-グロス-プラサド予想は, ワルドプルジェによって導入された局所相対跡公式と, それから導かれる重複度公式を用いて最近解決された. したがって, プラサド-タクルー・ビガシュ予想も局所相対跡公式と重複度公式によって解決できると期待される.
今年度の研究では, この予想を精密化し, イプシロン因子に関する式で必要十分条件を与える形に書き直した. そのために, 一般線型群とその内部形式に関する局所ラングランズ対応の記述として, 従来のものではなく内部形式全体をまとめたものを使った. こうすることで, 局所ガン-グロス-プラサド予想と完全に並行に予想を記述することが可能になり, 重複度公式を適用できるような形になった.
通常の(捻られていない)局所相対跡公式とそれに付随する重複度公式については, チェン・ワンによる最近の研究で, 一般の球等質空間に対して予想が与えられている. まず, 今回再定式化したプラサド-タクルー・ビガシュ予想の特別な場合(指標が自明な場合)が, チェン・ワン氏の予想からしたがうことを確認した.
さらに, 一般の場合を扱うために必要な捻られた局所相対跡公式を定式化し, そこから導かれるイプシロン因子の積分表示を与え, これらの予想からプラサド-タクルー・ビガシュ予想が導かれることを示した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度の目標であった, 局所相対跡公式の幾何サイドとスペクトルサイド双方の展開式の予想を定式化することおよび, その予想に基づいてプラサド-タクルー・ビガシュ予想(の精密化)を再定式化することは達成された. 実際には, チェン・ワンによる最近の研究において, 通常の局所相対跡公式はより一般の球等質空間に対して予想として定式化されており, 今回扱った局所相対跡公式もその特別な場合である. 本研究の新しい部分は, 捻られた局所相対跡公式の幾何サイドの展開を予想として定式化し, その帰結として得られると期待されるイプシロン因子(ルート数)の積分表示を明示的に与えたことである. これは, 局所相対跡公式と重複度公式を通じてプラサド-タクルー・ビガシュ予想の一般の場合(指標が非自明な場合)を扱うには不可欠なものであり, 昨年度の段階ではその必要性を認識していなかったという点で, 今年度の成果といえる. 一方で, 幾何サイドの展開に関しては期待に反してほとんど進展がなかったということも考え合わせて, おおむね順調に進展していると評価する.
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| 今後の研究の推進方策 |
(捻られた)局所相対跡公式の幾何サイドの展開を証明することは, 現段階では困難である. その原因は, 考えている対称空間およびその降下(descent)として現われる空間の軌道の複雑さにあると考えられる. そこで, 少し方針を変更して, 捻られた局所相対跡公式とその帰結であるイプシロン因子の積分公式に焦点を当てることにする. ブザール・プレシスやチェン・ワン, レイ・ジャンらの最近の研究により, 捻られていない通常の局所相対跡公式の幾何サイドの展開と重複度公式が, いくつかの場合に確立されている. これらの中には, イプシロン二分法が予想として定式化されていないものも多く, ほとんどの場合, どのような捻られた局所相対跡公式が対応するのかも判明していない. 今後の研究では, 捻られていない局所相対跡公式が確立されている場合に, 関連する捻られた局所相対跡公式を定式化し, 可能ならば幾何サイドの展開を示すことを目標にする.
また, 別の研究課題としてweightが分数のモジュラー形式とモジュラー曲線などの幾何やLie代数などの表現論との関係についても調べる. 具体的には, 分数weightをもつモジュラー形式であって, モジュラー曲線X(N)に対応するものが, 無限次元Lie代数の表現の指標公式を通じて解釈できないか, さらにはRogers-Ramanujan恒等式の類似が成り立たないか考察する.
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