| 研究実績の概要 |
本年度は主に次の2つの問題に取り組んだ.
(1). 前年度に引き続きフォンノイマン-シュレディンガー方程式の解の密度関数に関する時空間評価と, 各点収束問題について研究を行った. 一つの粒子に対する各点収束問題は Carleson の問題として広く知られているが, 今回の問題は, 無限個の粒子に対する各点収束問題とみなすことができる. 結果の大部分は前年度に既に得ていたが, 本年度は研究結果をまとめ現在国際雑誌に投稿中である. また, シュレディンガー方程式を波動方程式に変えた問題も考察した.
(2). 周期境界条件下でのシュレディンガー系の適切性について考えた. 適切性の証明に必要な初期データの正則性は連立方程式の線形部の係数の関係式の符号に依存することが知られている. 本年度の研究によって, 非線形共鳴相互作用が生じる状況での空間二次元シュレディンガー系のエネルギー空間での時間大域的適切性を得た. エネルギー空間での適切性はある意味で最適なものとなっている. よって, 線形解評価から生じる僅かな正則性の損失がエネルギー空間での適切性を困難にしていた.本研究では線形解評価ではなく三重線形解評価を証明し, 正則性の損失を回避することに成功した. また, 質量臨界条件下でのエネルギー空間での適切性に加え, エネルギー臨界である空間4次元での時間大域的適切性も得ることができた. さらに, 非適切性の結果も得ることができ周期境界条件化でのシュレディンガー系の適切性の研究を大きく進めることができた.
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