| 研究実績の概要 |
本年度行った研究は主にふたつである.
(1) 指数の局所化を用いた,インスタントンモジュライ空間の向き付けの問題と
(2) 反線形な対合のサイバーグ・ウィッテン(SW)理論である.
このうち, (1)は研究課題の周辺の話題だが, (2)は直接研究課題にかかわるものであり,研究課題の一部は完成したことになる. まず(1)について説明する. 本年度は指数の局所化を用いて一般のコンパクトリー群 G に対してインスタントンモジュライの向き付け可能性および標準的な 向きの入れ方の問題を研究した. 本手法は本質的にJoyce-Tanaka-Upmeierの局所化の方法に一致することがわかったが, 技術的により簡潔でさらにJoyce-Tanaka-Upmeierの論文で明らかになっていなかったモジュライの向きの付加的なデータへの依存性を明らかにできた. 次に(2)について説明する. 3, 4次元多様体の対合ιであって, 固定部分が余次元 2の部分多様体であるものをとる. このときSW方程式の未知関数についてιをカバーするような対合Iが存在しSW方程式はIについて同変である. Iの作用は「ねじった」ものを考えるので通常の同変理論とは異なる. この設定は私が研究課題に設定した対合付きSW理論である. 昨年度はこの設定でSWホモトピー型を構成し, 今野北斗氏, 谷口正樹氏との共同研究により結び目の 4次元種数(S^4の場合ではなく一般の4次元多様体に対して定義 される種数) への応用を出したが, 今年度は結び目を張る曲面が向き付け不可能な場合の種数の下からの評価や non-smoothableな多様体への作用 へ結果を拡張できた. さらに, 対合つきSW理論を用いてエキゾチックな曲面の 4 次元多様体への埋め込みを検出できることがわかった.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
昨年度に引き続き対合付きSWフレアホモトピー型および古田の有限次元近似のアナロジーを用いたトポロジーへの応用が新しく得られた. 最初の年度に構想していた計画では4次元多様体の向き付け可能な曲面について分岐する(境界付き)4次元多様体について調べる予定であったが, 向き付け可能な場合の結果は昨年度に得られ, 本年度には向き付け不可能な曲面に沿って分岐する場合についても結果を出すことができた. 特にスピンでない場合に得られた対合の情報を反映したFroyshov型の不等式を用いてスピンでない4次元多様体のニールセン実現問題の否定的な結果が得られた.
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| 今後の研究の推進方策 |
いままで得られた結果は対合付きSW理論を用いて(境界付き)4次元多様体の滑らかな対合に対して制約をあたえるものであった. それは位相的な量に対しての不等式であり, 証明は対合付きSW方程式の性質のみを用いるもので, 解の情報までは見ていない. 一方, ゲージ理論の低次元トポロジーへの応用には不変量を用いて微分構造の違いの情報を見るというものがある. 具体的にはSW不変量などの解の数え上げの不変量やバウアー古田不変量のように解の近傍の情報まで見る不変量を用いてエキゾチックな4次元多様体を検出するなどの応用がある. 今後の方針としては対合付きSW理論の文脈で不変量を構成し4次元多様体と対合の組に関して不変量を用いて微分構造の違いからくる精密な差異を検出したいと考えている.
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