| 研究実績の概要 |
今年度は、前年度までに行った不変式論的な考察を応用して、3次有理関数のパラメータ空間上の乗数関数の単射性問題の肯定的な解決を得て、プレプリントとして発表した。この結果自体はHutz-Tepperによる計算結果の修正としても発表していたが、手法としてよりパラメータ空間全体の形状を明確にした。また、3次有理関数の乗数写像について、計算上でいくつか予測しなかった現象が起きていることが明らかになった。
4次以上の有理関数のパラメータ空間上の乗数写像の単射性が、より解析的な手法を用いてJi-Xieによって得られ、既に知られたMilnor,Silvermanの2次有理関数での結果と合わせて、目標の1つとしていたMcMullenによる乗数写像の有限性証明の改良として予想されてきた単射性問題が肯定的に解決されたことになる。本研究は、その解決に資することができたといえる。
期間内に行った研究の全体として、1変数有理関数や代数的対応のなす力学系のモジュライ空間を、座標変換による同一視を不変性として不変式論的に取り扱い、その上で団代数的な技術を用いることで乗数関数についての複素Lefschetz公式についての不変式論的な解釈を得ることができた。また、不変式論的な性質から、有理関数だけでなく代数的対応を力学系と見た際の乗数写像についても、その具体的な数え上げの上限を計算することができるようになった。一方で、多変数関数についての同様の方法による計算については、不変式論的な課題が残る結果となった。
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