| 研究実績の概要 |
研究目的は空間平行移動不変性などの不変性に乏しい非線形シュレディンガー方程式の解の挙動を決定づける初期値を分類することである.
・埼玉大学の町原秀二氏, 橋本隼也氏とともに2次の非線形項をもつ連立系の確率シュレディンガー方程式を研究した. この方程式の解のエネルギーは保存されない. 空間4次元(質量臨界)の場合に, エネルギーの上からの評価を得た. この評価と対応する確定的な非線形シュレディンガー方程式の基底状態を用いて, その基底状態の電荷より小さい電荷をもつ初期値に対する解は時間大域的に存在することを示した.
・理化学研究所, 慶應義塾大学の池田正弘氏とともに抽象的なポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式を研究した. この方程式は空間平行移動不変性およびガリレイ不変性をもたない方程式である. 以前得られた定常解を用いて, それの作用(電荷とエネルギーの和)よりも小さい作用をもつ球対称解に関し, 有限時間で爆発(あるノルムが有限時間で発散)するための必用十分条件を得た.
・池田正弘氏と逆2乗冪ポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式を研究した. ポテンシャルが反発的である場合, ソボレフ不等式は非自明な解では達成されないことが知らられている. 球対称に制限することにより, ソボレフ不等式が達成されることを示した. またその達成元より小さいエネルギーをもつ球対称解は散乱(線形方程式の解に漸近)するもしくは有限時間で爆発することを示し, それぞれの必用十分条件を得た.
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