| 研究概要 |
ガウスの超幾何函数に付随するモノドロミー群の研究は古典的であり,多くの成果が得られているが,いろんな意味でのgenericity条件から外れる場合の考察は,不十分なものであった.このような状況に鑑み,積分表示解からの観点からの研究を行ったのが,佐々木武(神戸大名誉教授)との共同研究であり,その後の一連の研究の出発点となった.具体的には,被積分函数の指数を使った共鳴条件の決定,表現の既約性の必要十分条件の決定,共鳴条件下(=可約表現の場合)でのモノドロミー表現の具体的実現,可約表現が有限群になる場合の分類を行った.ここで,指数がいかなる場合であっても積分表示解で議論できるという状況を整えるためには,積分域が,サイクルだけでなく,サイクルとはならないチェインをも取り込む必要があることが明確になった.これは,従来考えられてきたこととは異なり,ホモロジー・コホモロジーでは捉えきれないことが明らかになったことを意味する.このような研究は,アッペルのF_1超幾何函数(2変数函数)の場合にも実行し,さらに,モノドロミー表現が既約になる必要十分条件の決定という問題に関しては,LauricellaのFD超幾何函数(n変数)の場合にも行った.
また,これに関連して,見かけのモノドロミー群と真のモノドロミー群との関係を,吉田正章(九大・数理),御前憲廣(日大・理工),佐々木武と代表者により検討したが,いまだ,不明瞭な個所があるので,このまま共同研究を継続する.
代表者はAppellのF2,F3超幾何函数のモノドロミーを具体的に構成した.
LauricellaのFA,FB,FC,FD超幾何函数,一般超幾何函数nFn-1,GelfandのmEn超幾何函数がみたす微分方程式の解を適当なチェイン上の積分で与えられるという結果を野海正俊(神戸大)との共同研究で得た.これは,今後,対応する微分方程式の大域構造の研究の基礎になるものと考えている.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Gaussの超幾何函数,AppellのF_1超幾何函数,LauricellaのF_D超幾何函数に付随するモノドロミー表現の研究を代表者と佐々木武(神戸大名誉教授)との共同で進め,モノドロミー群が既約となる条件の決定や,既約でない場合の表現の具体的構成,有限群となる条件の決定をほぼ満足する形で実行することが出来たからである.
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| 今後の研究の推進方策 |
代表者によるAppellのF2,F3超幾何函数のモノドロミーに関する結果と,LauricellaのFA,FB,FC,FD超幾何函数,一般超幾何函数nFn-1,GelfandのmEn超幾何函数がみたす微分方程式の解が適当なチェイン上の積分で与えられるという野海正俊(神戸大)との共同研究の成果を早々にまとめたい.そして,3E6のモノドロミーの性質,特に,レゾナントな場合の状況を,佐々木武と吉田正章(九州大)と共に詳細に調べる計画である.また,アクセサリパラメータの無いFuchs型微分方程式の研究として,Even-Oddfamilyの接続問題を原岡喜重(熊本大)と,横山系のみたす行列係数一階型の微分方程式の導出を金子譲一(琉球大)と行う予定である.また,Meixner-Pollaczek多項式と表現論との関係を若山正人(九州大),J.Farout(パリ大)と共同で明らかにしてゆく予定である.
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