| 研究課題/領域番号 |
23340005
|
|---|
| 研究機関 | 京都大学 |
|---|
研究代表者 |
中島 啓 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (00201666)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2011-04-01 – 2016-03-31
|
| キーワード | 代数学 / 幾何学 / 表現論 |
|---|
| 研究概要 |
物理学者の Alday-Gaiotto-立川によって発見されたゲージ理論とW代数との対応を、数学的に厳密な立場から「インスタントンの枠付きモジュライ空間の上で、同変コホモロジー群自体を考えると、それがW 代数の表現の構造を持ち、様々なコホモロジー類が、W 代数の頂点作用素などを用いて書き下される」と理解し、これに証明することを目指すために、平成23年度に続き次のような研究を行った。
まず、群がSL(２)のときには、Maulik-OkounkovやSchiffmann-VasserotによりVirasoro代数の表現が得られており、これがSL(N)のときに証明を行うため土台になっていた。さらにSL(2)の場合は、Lehnによって得られていたヒルベルト概型のコホモロジー群へのVirasoro代数の表現の構成が基本であったので、これをJack多項式と局所化を組み合わせて、self-containedに証明することを行った。
また、上のA型の証明を一般の群に拡張するために、枠組みを偏屈層に関する双曲的制限関手の考察であるととらえて、証明のための枠組みを考察し、いくつかの研究集会で報告した。さらに、この関手の性質を、Braverman-Finkelbergと共同で研究し、一番大切な偏屈層が偏屈層に移されるという性質を証明した。これにより、ADE型の場合は証明がほぼ完成し、論文の執筆に着手した。
さらに、モジュライ空間の基本類の性質を調べるために、W代数に関して、通常はパラメータは複素数であると考えて定義される代数を、多項式環上で定義する必要が生じた。これは、Feigin-Frenkelの構成を、多項式環上で実行することになり、証明の細部を与えた。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今までの研究は、ゲージ群としてはSL(N)だけを考えており、一般のLie群の場合の考察は初めてであった。また、W代数は頂点代数として定義されるものであり、これを扱うのも初めてであった。そのために、論文の執筆には予定よりも時間がかかっているが、制限関手の性質、多項式環上のW代数の定義、それぞれ独立の論文としても発表する価値があるだけの結果であり、より研究を深めるために論文の完成に至っていないが、研究成果としては十分であると考えている。
|
| 今後の研究の推進方策 |
まずは、ADE型の場合の論文の執筆を終了させる。残されたBCFG型の場合は、今の手法では不十分なことから、R行列の考察を行うことを計画している。
また、一方で、幾何学的な構成の応用として、荒川によるKazdhan-Lusztig型の指標公式の幾何学的証明を考察した。そこで、Lie環の無限次元表現に関する、もともとのKazhdan-Lusztig多項式を合わせて証明することが自然であることが、判明した。これをさらに精密に調べる方針である。
|
