| 研究課題/領域番号 |
23340005
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
中島 啓 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (00201666)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | モノポール公式 / クーロン枝 / ゲージ理論 |
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| 研究実績の概要 |
コンパクト・リー群G と、その四元数体上の表現 M が与えられたとき、物理学者は3 次元のN = 4 超対称性ゲージ理論とよばれる場の量子論を考え、特にそのゲージ理論のクーロン枝とよばれる、超ケーラー多様体を研究していた。しかし、その定義には、「量子補正」とよばれる数学的に厳密な取り扱いがなされていない手続きが含まれており、クーロン枝の数学的な定義は与えられていなかった。そこで、数学的に厳密な定義を与える試みを始めた。
まず、複素射影直線 P^1 から超ケーラー商 M///G (ただし、スタックμ_C＾{-1}(0)//G_C として扱う) への、ゲージσ-模型をとり、そのモジュライ空間の、自然な消滅サイクルに係数を持つコホモロジー群を考える。この定義は、位相的場の理論に動機づけされるが、量子ヒルベルト空間として無限次元のものが出てくることが、特徴的である。しかし、これがクーロン枝の座標環になると予想されることから、当然である。その指標を計算すると、物理学者のCremonesi,Hanany and Zaffaroni [3] が与えたクーロン枝の構造環の指標を与えると主張されているモノポール公式と同じになることを証明した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
予定していたKazhdan-Lusztig 予想に対する新しいアプローチについての論文の執筆は、さらに遅れているが、一方で超対称性ゲージ理論のクーロン枝の立場から、今までの研究に対して新たな視点が得られた。この研究は、始めたばかりであり、理論の基礎づけに時間がかかると思われるが、比較的簡単に検証できることについては、予期した結果が得られた。
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| 今後の研究の推進方策 |
クーロン枝の立場から、これまで得られてきたW代数のインスタントンのモジュライ空間の交叉ホモロジーへの作用は、より一般的な観点から捉えられることができると思われる。例えば、この作用は代数的には、アファイン・リー環の表現の簡約として得られることが知られていたが、対応する幾何的な構造は見えていなかった。クーロン枝の立場からは、インスタントンのモジュライ空間は、いままでに考えていなかった連結成分をたくさん持つことになり、これと関係していると期待される。
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