| 研究課題/領域番号 |
23340009
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
翁 林 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (60304002)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 非可換ゼータ関数 / beta 不変量 / 体積予想 / モティーブ型 Euler 積 / ゼータ関数の特殊統一性 / loop 群の周期 / adelic cohomology 群 |
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| 研究概要 |
今年は非常に豊作。( 1 ) Zagier 氏と有限体上楕円曲線の非可換ゼータ関数のリーマン仮説を成り立つ関するの論文を完成。これに伴う，有限体上の曲線の beta 不変量に関するの生成関数の積公式も発現。さらに，これらの principal 代数簡約群束に関する半安定束と全体束の体積の間の関係を証明。（2 ）有限体上の曲線とリーマン面のゼータ関数の一般統一性を実現するため，私は曲線上の代数群に関する adelic モティーブ型計量と玉川数予想、および任意基礎体上の曲線の非可換モティーブ型ゼータ関数を導入。さらに、モティーブ型 Euler 積も導入し，すべて基礎体上の曲線の研究を統一構造の上に実現。（ 3 ）Zagier 氏と有限体上代数曲線の階数 n ゼータ関数は SLn-ゼータ関数であるというゼータ関数の特殊統一性を確立。（ 4 ）私は大域体上定義された loop 群の周期を発見。これは、代数曲面上のベクドル束の理論と loop 群の Eisensetin 級数の理論に密接に関連する、故に、重要なさらなる研究に値するの新しい方向である。(5) 菅原氏と数論多様体の adelic cohomology 群を構築。
研究活動も非常に活発。（a）フィールズ賞受賞者の Lafforgue 氏（IHES）を招きして (4/21-5/9), 連続講演をした。彼のために、研究集会も主催。（b）熊本大の加藤文元、鹿児島大の小櫃邦夫、佐賀大の市川尚志と九州合同セミナーを開始。最初に九大で Lafforgue 氏を講演した。（c) KIAS (Seoul)、 VIASM (Hanoi)、東京大、九州大に開催された国際会議で講演。（d）S.T. Yau 教授から招待のため、清華大学国際数学中心に連続講義をした。（e）MPIM (Bonn) 及び IHES、清華大学、とUCLA を訪問しました。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
研究の目的は，安定性の概念と手法を局所体と大域体双方に関する数論的性質，および数論的構造の非アーベル的側面を研究するときに用いることである．高階ゼータ関数の応用や，ゼータ関数の特殊統一性から発現される対（G，P）に付随するゼータ関数，および，その零点の分布を研究する．さらに，ゼータ関数の広義統一性のもとで，代数体，有限体上の関数体とリーマン曲面の理論についてゼータ関数を使って統一したい．
今年は、’高階ゼータ関数の応用や，ゼータ関数の特殊統一性から発現される対（G，P）に付随するゼータ関数を研究する' に関して，Zagier 氏（MPIM, Bonn）と有限体上楕円曲線の非可換ゼータ関数のリーマン仮説を成り立つ関するの論文を完成し、有限体上の曲線の beta 不変量に関するの生成関数の積公式も発現し、さらに，これらの principal 代数簡約群束に関する半安定束と全体束の体積の間の関係を証明した。ー方、’ゼータ関数の広義統一性のもとで，代数体，有限体上の関数体とリーマン曲面の理論についてゼータ関数を使って統一したい’ に関しては, 曲線上の代数群に関する adelic モティーブ型計量と玉川数予想、および任意基礎体上の曲線の非可換モティーブ型ゼータ関数を導入し, モティーブ型 Euler 積も導入し，すべて基礎体上の曲線の研究を統一構造の上に実現した。
さらに、Zagier と有限体上代数曲線の階数 n ゼータ関数は SLn-ゼータ関数であるというゼータ関数の特殊統一性を確立した。その上に, 大域体上定義された loop 群の周期を発見した。これは代数曲面上のベクドル束の理論と loop 群の Eisensetin 級数の理論に密接に関連する、故に、重要なさらなる研究に値するの新しい方向である。
最後に，菅原広太郎と数論多様体の adelic cohomology 群を構築。
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| 今後の研究の推進方策 |
来年は、以下の課題に集中する。（ 1 ）高ランクゼータ関数の零点の分布、（2）大域体上定義されるループ群に対する新しいゼータ関数の構築。
（1）のために、我は有限体上の楕円曲線の高ランクゼータ関数についての調査から始める。 Zagierと私の共通論文によって、これらの関数はリーマン予想を満たすことを確立した。 故に，これらのゼロの分布を理解するのは非常に重要な問題になる。特に、彼らは佐藤 - テイト予想を満たしているかどうか。しかし，我確信しているのはこれらの分布はディラックシンボル型である。つまり、これらのゼロはある収束点にあつめる。故に，次の目的は、これらの収束点を見つけることであり、さらに， これらの点を爆発して、ゼロの分布の二次レベルの構造を見つける。同じように、代数体関しては、非可換ゼータ関数のゼロの相関関数は収束点が何であるかを理解したい。 さらに、これらの収束点を爆破し、ゼロの分布の二次レベルの構造を見つけたい。非常に難しい分野で、これらすべての現象が新しいである。研究はいくつかの新しい課題に直面し、その一方、新しい数学につながるたろ。
（ 2 ）は曲面上のバンドルを数えることと密接に関連がある。ここで私たちの主な目的は新しいゼータを構築することである。それはChevelley群の翁ゼータのloop群に関して類似ものである。しかし、このときいくつかの本質的な困難と直面する。これらが解決されると、基本領域の体積をとう計算するという問題がある。古典な場合、Siegel、Siegel-WeilとLanglandsの結果により、ゼータの特殊な値で与えてる事がわかる。loop群のときとうなるでしょうが？私は、周期理論と錐の積分の正規化を使用し、これを調査する。 Chevelley群の研究から蓄積された経験から、我はここにもいくつかの新しい構造を発現することを期待している。
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