| 研究課題/領域番号 |
23340013
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
高山 茂晴 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (20284333)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 複素幾何学 / 相対標準束 / 変形空間 / モジュライ空間 |
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| 研究概要 |
２４年度の研究の主なものは以下の通りである。複素多様体間の固有正則写像 f : X → Y で、Y の解析的部分集合 D の補集合上 f は滑らか、X上のエルミート正則ベクトル束 (E,h)で、その曲率形式が中野の意味で半正であり、さらに f＾{-1}(W)、WはYの開集合、という形の開集合上で正であるものを考える。このとき捩じれ自由層 f_*(K_{X/Y} x E) は各点 y \in W-D において中山の意味で局所アンプルになり、特に巨大層になる。
この定理はこれまでに知られていたViehwegや竹腰らによる正値性定理の局所的な性質に関する精密化とみなすことができる。
その証明には、より一般の複素多様体 Y上の捩じれ自由層 F に対して、与えられた点における F の中山の意味での局所弱正性や局所アンプル性の条件を、Fに付随した射影束 P(F) の普遍直線束 O(1) に幾何的状況に応じて定まる、適切な特異エルミート計量の性質で記述する判定法を与えることでなされた。これは F が直線束のときでさえ、与えられた点において局所アンプル性を判定するという点において、新しい判定法になっている。
この研究成果を論文としてまとめ、雑誌 Bulletin des Sciences Mathematiques に投稿し受理された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
写像 f: X → Yとf-豊富正則直線束やベクトル束 E に対し順像層 f_*(K_{X/Y} x E) を研究し, 基本的な正値性の判定法は得ることができた。
しかし調和積分論のある精密化のところで解析に困難が生じたため、より代数的な議論での解決を試みている。
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| 今後の研究の推進方策 |
続いて部分的に応用の研究に入る予定であるが、それに関係して２４年度後半から射影空間 P＾N の一般に特異点をもつ部分多様体 X のガウス写像を研究する必要が出てきた。今後はまず、ガウス写像の像のグラスマン多様体におけるエフェクティブな次数の評価を得ることを目指す。続いて標準偏極多様体の族に関するシャファビッチ型予想について研究をする。
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