| 研究課題/領域番号 |
23340017
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
吉川 謙一 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20242810)
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| 研究分担者 |
松澤 淳一 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (00212217)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 解析的捩率 / モジュライ空間 / 保型形式 / 対合付きK3曲面 / Borcherds Φ-関数 / Calabi-Yau軌道体 / BCOV不変量 |
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| 研究概要 |
（１）研究代表者はBershadsky-Cecotti-大栗-Vafaが導入した３次元Calabi-Yau多様体のBCOV不変量を大域的Calabi-Yau軌道体に対して拡張し、Borcea-Voisin軌道体の場合に決定した。
（２）研究代表者は２００４年に同変解析的捩率を用いて対合付きK3曲面の不変量τを構成し、それがモジュライ空間上の保型形式ΦのPeterssonノルムとして表される事を示した。対合付きK3曲面の変形族は全部で７５個存在するが、２０１２年度までの研究により不変量τの具体的表示を約５０の族に対して得ていた。２０１３年度の研究により、７４個の変形族に対して不変量τの具体的表示式を得た。７１個の族に対しては、具体的なBorcherds積とSiegel保型形式の積としてτが表され、残りの３個に対しては、具体的なBorcherds積と対合の固定曲線の判別式の積としてτが表される。この研究は馬昭平（東京工業大）との共同研究であり、現在残された１個の族の研究を継続している。
（３）研究代表者は対数的Enriques曲面の不変量を解析的捩率を用いて構成した。
（４）BorcherdsΦ-関数はDedekindのエータ関数のEnriques曲面版としてBorcherdsにより発見された１０次元の保型形式である。研究代表者は向井茂（京大・数理研）と川口周（京大・理）と共同で、BorcherdsΦ-関数の代数的表示を与えた。Enriques曲面を被覆するK3曲面の(2,2,2)型表示を考える事により、BorcherdsΦ-関数の値を定義方程式系の終結式の積とEnriques曲面の周期積分の積として表す事に成功し、プレプリントを公開した。
（５）研究分担者はクンマー曲面および関連するK3曲面を直線の２次複体の立場から捉え、それらを接触幾何の観点から特徴付ける研究を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
課題（２）として挙げた同変解析的捩率を用いて構成される対合付きK3曲面の不変量τの構造がほぼ完全に決定され、当初の予想以上に不変量τの構造を解明する事ができた。５年で解明するはずであったτの構造が３年目でほぼ解明されてしまったので、課題（２）については当初の計画以上に進展した。また、当初は予想していなかった一連のSiegel保型形式が公式に現れる事が見出せた事も大きな収穫である。
課題（１）に対しては、Borcea-Voisin軌道体のBCOV不変量をほぼ決定でき、その保型性を証明できたので、当初の計画以上に研究が進展していると考える。
課題（３）に対しては、対数的エンリケス曲面の不変量を解析的捩率を用いて構成する事に成功している。
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| 今後の研究の推進方策 |
課題（２）同変解析的捩率を用いて構成される対合付きK3曲面の不変量τの構造には、３種類の例外的表示が存在する。この場合にも他の場合と同様な表示が存在するか研究を続ける。また、τの表示式に現れるBorcherds積とSiegel保型形式の起源を探求する。１９９８年の論文で物理学者Harvey-Mooreの予想したヘテロティック弦理論とII型弦理論の双対性に深く関係すると思われる。
課題（１）Calabi-Yau軌道体とBCOV不変量とそのクレパント特異点解消のBCOV不変量の関係が解明されれば、Borcea-Voisin多様体のBCOV不変量が完全に解明される事になるので、今後はその問題に注力したい。また、Calabi-Yau多様体の退化族に対するBCOV不変量の漸近挙動を決定する問題にも取り組む。
課題（３）解析的捩率を用いて構成される対数的エンリケス曲面の不変量の保型性とその具体的な表示を求める。
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