| 研究課題/領域番号 |
23340037
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
梶原 健司 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (40268115)
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| 研究分担者 |
増田 哲 青山学院大学, 理工学部, 准教授 (00335457)
太田 泰広 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10213745)
中屋敷 厚 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (10237456)
井ノ口 順一 山形大学, 理学部, 教授 (40309886)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 離散可積分系 / 離散微分幾何 / 離散曲線・曲面論 / 離散正則函数 / τ函数 |
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| 研究概要 |
本年度は(a)離散曲面論・曲線論の構築と深化，(b)離散正則函数の理論，(c)さまざまな幾何学的設定の下でのループソリトン系の離散化と数値解析，(d)離散ソリトン系・離散曲線の運動の周期解の構成，を実施することとした．
(a)に関しては基本的なmodified KdV方程式（離散・半離散・連続）による曲線の等周変形と変換理論を完成し，論文を出版した．また，可積分系で記述される代表的な曲面は定曲率空間内のものであるが，定曲率でない3次元等質空間内で可積分系の構造を持つ曲面を見いだし，具体的な構成法を与えた．
(b)については離散冪函数の理論の精密化を図り，冪の実部が1の場合にもimmersionになることを示した．また，D5型対称性を持つq-パンルヴェVI型方程式と関連する離散正則函数の構成に向けて，q-パンルヴェVI型方程式の超幾何解を構成し，超幾何τ函数の比が作る複比方程式を構成した．
(c)については，海外協力研究者の丸野健一（テキサス大学パンアメリカン校）らと協力し，(a)の平面離散曲線の理論から得られた離散ホドグラフ変換の理論を深めて一般化した．また，その知見を用いて，ループソリトンを許容するWKI elastic beam 方程式，short pulse方程式や，Camassa-Holm方程式，Degasperis-Procesi方程式などのピーコンなどの特異性を持つ孤立波解を許容するソリトン方程式の離散化に成功し，初期値問題の数値解析を行った．得られた差分および微分差分方程式はステップサイズ適応制御型の数値スキームになっている．
(d)については，τ函数の性質を用いてテータ函数の微分に関する性質を調べ，周期解の鍵となる多変数シグマ関数の閉じた形の加法公式を証明した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
(a)に関しては曲面論に関して可積分幾何が適用可能な新しい曲面のクラスと構成法を見いだし，計画で想定していなかった新しい展開が見られている．また，空間曲線の等周変形に関するτ函数を用いた明示公式の導出には若干の遅れがある．これは規格化条件と実数条件を同時に満たす厳密解を構成すること（τ函数のゲージを決定すること）が平面曲線より困難であることによる．(b)に関してはほぼ計画通りの進捗状況である．(c)についてはホドグラフ変換について明確な幾何学的意味が得られたことにより，ホドグラフ変換の離散化がスムースに得られ，さらにその一般化と適用範囲の拡大が当初の予想以上に進んでいる．(d)については(a)と同様の難しさがわかっていたので，それを当初から折り込んで理論の整備を図っており，ほぼ計画通りに進んでいる．
以上のことから，全体としてはおおむね順調に進展している．
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| 今後の研究の推進方策 |
個別の項目についての進度の差は若干あるが，理論研究で通常起こりうる程度のゆらぎであるので，計画はこれまで通り，すなわち，(b)離散正則函数の理論，(c)さまざまな幾何学的設定の下でのループソリトン系の離散化と数値解析，(d)離散ソリトン系・離散曲線の運動の周期解の構成，の4項目を着実に進めてゆく．
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