| 研究概要 |
本年度の主な研究成果は以下の通りである。
１． 量子トロイダル代数の研究：量子トロイダル代数は1990年代半ばに導入され、自己同型など代数構造の研究が進んだが、その表現についてはフォック表現以外にほとんど知られていなかった。本年度はglN型の場合を研究し、半無限wedge積を用いて、有限次元のウエイト空間を持つ最低ウェイト加群の新しい族を具体的に構成した(B.Feigin, E.Mukhin, 三輪哲二との共同研究)。もっとも基本的な例である Macmahon 加群は平面分割を基底に持ち、各ウエイト空間が1次元で、表現の行列要素がすべて因数分解した形で具体的に記述できる。表現のレベルの特殊化によりフォック表現をはじめとする様々な既約商加群が得られるが、その特別な場合として、部分代数である量子アフィンglNの加群と見なしたときワイル型の指標を持つ負レベル既約加群が得られることを示した。
2. フェルミオン構造の研究：これまでスピン1/2のXXZ模型のフェルミオン構造を研究してきた。その構成法はいまのところ多くの部分でスピン1/2の特殊性に強く依存している。より普遍的な理解を進めるためのステップとして、本年度はスピン１のモデルを研究した。高スピンのモデルは連続極限でも場の理論の重要な例を与える。相関関数の満たすqKZ方程式の代数的表示について部分的な成果が得られたが、現段階はフェルミオンの導入の一歩手前であり、発表には至っていない。その他、相関関数の表示で中心的な役割を果たす「構造関数」ω (ξ,η )を常微分作用素のスペクトル問題と関係づける試みを行い、free fermion point である表示式を得たが、一般の場合に拡張することができなかった。
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