| 研究概要 |
符号(2, n+2)の直交群G=O(2,n+2)上の正則な保型形式Fを考える。Fがある種の無限積表示を持つとき、FをBorcherds liftという。この条件は、Fの因子に関する条件によっても記述される。研究協力者のB. Heim氏（ドイツ工科大学・オマーン）との共同研究（平成２３年度以前）において、FがBorcherds lift のとき、F はある種の対称性（積対称性）を満たすことを示した。「Borcherds lift は積対称性によって特徴づけられるか？」という問題が自然に起こる。平成２４年度の研究においては、F が正則な場合にこの問題を考察した。正則な場合、F はフーリエ・ヤコビ展開可能である。Fのm番目のフーリエ・ヤコビ展開係数をF_mと書く。B. Heim氏との共同研究において、Fが積対称性を満たすための、F_mたちの満たすべき必要十分条件を確立した。より正確にいうと、F_mが消えない最小のmをkとおくと、商F_m/F_kたちがある多項式によって記述される多項式関係式をみたすことがFの積対称性と同値になることを示すことが出来る。また、この条件の記述に現れる多変数の多項式の代数的性質を考察した。特に、G=O(2,2)、F(z,z’)=j(z) - j(z’) (j(z) はmodular invariant)の場合は、上述の必要十分条件は、Mahlerが見いだした j(z) のフーリエ係数のみたす漸化式を意味しており、興味深い。
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