| 研究概要 |
本研究は、ゼータ関数を軸として、関連する数論的な量を研究することを目的としているが、その中で、デデキントゼータ関数が関連する剰余位数の分布問題において成果が得られた。まず a を 2 以上で完全 h 乗数 (h は 2 以上) でないものとする。奇素数 p に対して, a の Z/pZ 乗法群における位数を D_a(p) で表す。a を固定して奇素数 p を動かすとき、D_a(p) を k で割ると l 余る p の自然密度を Delta_a(k,l) で表す。Delta_a(k,l) の値を決定する問題に対しては、筆者らの以前の論文で一定の成果が得られていた。例えば、a の square-free part が奇数の場合、一般リーマン予想を仮定すれば、Delta_a(4,1)=Delta_a(4,3)=1/6 である。また、一般の k, l の組に対しても、一般リーマン予想のもと、Delta_a(k,l) を計算するアルゴリズムが必ず存在することも示されている。本研究ではこれらの結果の一般化の一つを研究し、成果が得られた。すなわち、異なる奇素数 p, q をとり、Z/pqZ 乗法群における a の位数 D_a(pq) を考えるのである。そして D_a(pq) を k で割ると l 余る p の自然密度を Gamma_a(k,l) で表す。ただし、(p,q) は 0< p,q < x という形の正方形領域を動き、その状態で x を無限に大きくするものとする。本研究では、a の square-free part が奇数の場合に Gamma_a(4,l) を考察した。その結果、l=0,2 の場合は仮定なしで、l=1,3 の場合は一般リーマン予想の仮定のもとで、これらの密度決定に成功した (Murata-Chinen, 2013)。
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