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2011 年度 実施状況報告書

正則アフィン平面から派生する有限体上の関数の研究

研究課題

研究課題/領域番号 23540035
研究機関近畿大学

研究代表者

中川 暢夫  近畿大学, 理工学部, 教授 (10088403)

研究期間 (年度) 2011-04-28 – 2015-03-31
キーワードAPN関数 / 線形空間の交代積 / 置換群 / semifield
研究概要

この研究課題における研究の最終目標の一つは標数2のGF(2)上n次元有限体Fに対しF上のQuadratic APN関数で非同値なものをすべて求めることにある。その目的は遠大である。Fの交代積Vを考え、r=n(n-3)/2とおき、Vのr次元部分空間でnonzero pure vectorを一つも含まないものの集合をS(NP,r)とする。置換群(GL(F), S(NP,r))の可遷域の一つ々とF上のQuadratic APN関数の同値類の一つ々が対応することがこれまでの研究で示されている。M:=|S(NP,r)|の値が評価できれば、F上のQuadratic APN関数の非同値なものの個数の下限が求まる。Mの評価式として、下記の二つの式を得た。M=s(0)-s(1)+s(2)-s(3)+・・・+s(p)(pが偶数), M=s(0)-s(1)+s(2)-s(3)+・・・-s(p)(pが奇数)で, s(i)=a(0)d(i,0)+a(1)d(i,1)+a(2)d(i,2)+・・・+a(i)d(i,i).ここで、a(t)はすぐ計算できる値であり、d(i,t)は相異なるnonzero pure vector u(1),u(2), ・・・,u(i)が張る部分空間の次元がtとなるようなu(1),u(2),・・・,u(i)の取り方の数を表す。pは零でないpure vectorsの個数である。これからの目標は各iとtに対し、d(i.t)を詳細に評価することである。n=4,5に対して,計算ソフトMagmaを使用してd(i,t)の値は求まっている。現在n=6に対して計算中である。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

標数2の有限体上のQuadratic APN関数の個数(同値なものを同一視)の下限の値を評価する目標に対しては大体半分ぐらいは達成されている。来年度は母関数を利用して最終段階に迫る。標数が奇素数の有限体に対する研究がはかどっていない。平面関数から得られるcommutative semifieldsの構造を多方面から突き詰め、その全特徴を把握して,逆にそのような特徴をもつcommutative semifieldから平面関数が構成できること、更に平面関数とcommutative semifieldの対応を考えるとき、それらに導入する同値関係で最も妥当なものは何かといった研究を精力的に進める。

今後の研究の推進方策

GF(2)上n次元の有限体Fに対し、Fの交代積Vのr(r=1,2,3,・・・)次元部分空間でpure vectors を丁度i個ふくむようなものの個数をa(r,i)とする。a(r,i)を母関数を用いて評価したい。まずn=4,5,6,7までMagmaを用いて全てのa(r,i)達を求め、どのような母関数を考えると効果的であるかを考察する。標数2のcommutative semifieldの各元を3乗する関数をアレンジした関数から標数2の有限体上のAPN関数を構成する。標数が奇素数のcommutative semifieldの平方写像と標数が奇素数の有限体上のquadratic planar functionの関係を余すところなく詳らかにする。

次年度の研究費の使用計画

今年度の残高288908円と次年度の予算400000円の合計688908円に対し、海外の研究集会に参加し研究連絡と情報収集するための旅費に350000円使用する。また国内の研究集会に参加し情報収集するための旅費に150000円使用する。更に課題研究を達成するために図書購入及びバージョンアップされた計算ソフトMagmaの購入のために188908円を使用する。

  • 研究成果

    (3件)

すべて 2011

すべて 雑誌論文 (1件) 学会発表 (2件)

  • [雑誌論文] On planar functions and p-ary bent functions2011

    • 著者名/発表者名
      Nobuo Nakagawa
    • 雑誌名

      第28回代数組み合せ論シンポジュウム報告集

      巻: No. 28 ページ: 89p,97p

  • [学会発表] On planar functions and p-ary bent functions2011

    • 著者名/発表者名
      Nobuo Nakagawa
    • 学会等名
      SJTU Algebraic Combinatorics Work Shops
    • 発表場所
      上海交通大学
    • 年月日
      2011,9,15
  • [学会発表] On non-isomorphism problems of strongly regular graphs2011

    • 著者名/発表者名
      Nobuo Nakagawa
    • 学会等名
      The 10-th International Conference of Finite Fields and their applications
    • 発表場所
      Ghent Univ. (Belgium)
    • 年月日
      2011,7,11

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公開日: 2013-07-10  

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