| 研究課題/領域番号 |
23540039
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
増岡 彰 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (50229366)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-28 – 2014-03-31
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| キーワード | スーパー代数群 / ホップ代数 / 超代数 / Harish-Chandraペア |
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| 研究概要 |
アフィン群（スキーム）とは可換代数の圏上定義された表現可能な群函手であり、従って（代数的）アフィン群と（有限生成）可換ホップ代数が対応する。これを機械的に拡張してスーパー・アフィン群が定義され、（代数的）スーパー・アフィン群と（有限生成）可換スーパー・ホップ代数の対応が得られる。スーパー・アフィン群の重要性は、Deligneの定理「対称テンソルアーベル圏で、ある緩やかな条件を満たすものが、スーパー・アフィン群の表現圏として実現される」に求めることができるが、その一方でアフィン群について知られた基礎的事実さえ、まだスーパー化されていないものが多い。そのうち１つを解決し次を証明した。「代数的スーパー・アフィン群Ｇとそのスーパー閉部分群Ｈに対し、スーパー商層Ｇ/ＨはNoether的スーパー・スキームになる。」（A. Zubkovとの共同研究、共著 "Quotient sheaves of algebraic supergroups are superschemes. J. Algebra 348 (2011), 135-170）。次にスーパー・アフィン群Ｇには、その群函手としての定義域を制限することにより代数的アフィン群Ｇ’と、単位元における余接スーパー・ベクトル空間Ｗとが付随する。さらに適当な構造を付随させてHarish-Chandraペア（Ｇ'，Ｗ）なるものが構成できる。この構成が可逆であること、即ち次を証明した。「標数が２と異なる勝手な基礎体上、代数的スーパー・アフィン群とHarish-Chandraペアの間に圏同値が存在する。」(単著"Harish-Chandra pairs for algebraic affine supergroup schemes over an arbitrary field", arXiv:1111.2387として投稿済み)。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
１．代数群の基礎理論のハイライトは商空間Ｇ/Ｈの考察にあるが、函手的見地はここで威力を発揮する。A.Zubkovとの共同研究で商空間に関する基礎的結果を代数的スーパー・アフィン群に一般化して、共著を出版することができた。２．代数的スーパー・アフィン群とHarish-Chandraペアの間に圏同値を本研究の基盤に合ったが、これが証明できたことは大きい。３．大学院生を含めた何人かの研究者が、本研究に興味を示し参加しつつある。４．Almeria大学（スペイン）、Woods Hole Oceanorganic Institute（マサチューセッツ）、清華大学（北京）、中山大学（中国広州）、コルドバ大学（アルゼンチン）において研究成果の発表の場が与えられた、または与えられることが決まった。
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| 今後の研究の推進方策 |
アフィン群に、「簡約」、「幾何学的簡約」の概念があり、これらが同値であること、標数ゼロの場合これらは「線型簡約」とも同値になることが知られている。スーパー・アフィン群の場合には事情が大きく異なるようだ(この場合でも簡約、幾何学的簡約を定義するのは容易い)。例えば、標数ゼロの場合、線型簡約スーパー・アフィン群はかなり限られていることが知られている。今後の研究においては、スーパー・アフィン群に関する、簡約、幾何学的簡約、線型簡約といった性質について、次の課題を研究する。(1)正標数の場合、連結線型簡約スーパー・アフィン群はアーベルか（即ち永田の定理が成り立つか)。(2)申請者とZubkovはスーパー・アフィン群に対して「簡約」の定義を得ている。３つの性質をHarish-Chandraペアにより特徴付けよ。また３つの間の関係を明らかにせよ。(3)代数閉体上の簡約スーパー・アフィン群を分類せよ。また、有理整数環上のChevalley群スキームの構成を、スーパー・アフィン群に一般化せよ。これらを解くため引き続きA.Zubkov教授(ロシアOmsk大学)と共同研究を行う。また、ホップ代数・量子群の分野でN. Andruskiewitsch教授（アルゼンチン・コルドバ大学）、I.Heckenberger教授（ドイツMarburg大学）らが研究を進めているWeyl groupoidが、従来のWeyl群に替わるものとして役立つと思われる。そこで同教授らと共同研究を始める。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
今年度計画していた出張、講演は予定通り実施し、支払いが４月となったため生じたものである。このほか今年度の主な使用計画は以下のとおりである。１．海外渡航費。(i)共同研究者Alexander Zubkovとの研究連絡。４月２３日～５月１日。Woods Hole Oceanorganic Instituteで開かれるAuslander distingushed lectures and international confenceにおいて。(ii)清華大学（北京）の数学セミナーにて研究成果発表。５月２４日～２９日。(iii)中山大学（中国広州）に開かれるConference on ring theoryにて研究成果発表。６月２３日～７月１日。(iv)N. Andruskiewitschとの研究連絡。11月初旬～中旬の２週間。２．共同研究者の招聘。I.Heckenberger教授。８下旬～３週間。３. 主催する研究集会のための旅費。９月３～５日「ホップ代数と量子群--応用の可能性」京都大学数理解析研究所４．群スキーム、スーパー幾何学関連図書購入。５～６月。
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